Номер 35.15, страница 182 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.15. Определите коэффициент при $x^{12}$ в разложении $(x^7 + x^5 + 1)^{20}$.

35.15. Для нахождения коэффициента при $x^{12}$ в разложении выражения $(x^7 + x^5 + 1)^{20}$ воспользуемся полиномиальной теоремой (обобщением бинома Ньютона для трех и более слагаемых). Общий член разложения полинома $(a_1 + a_2 + ... + a_m)^n$ имеет вид:

$\frac{n!}{k_1!k_2!...k_m!} a_1^{k_1} a_2^{k_2} ... a_m^{k_m}$

где $k_1, k_2, ..., k_m$ являются неотрицательными целыми числами, сумма которых равна $n$: $k_1 + k_2 + ... + k_m = n$.

В нашем случае мы имеем трехчлен $(x^7 + x^5 + 1)$ в степени $n = 20$. Таким образом, общий член разложения будет:

$\frac{20!}{k_1!k_2!k_3!} (x^7)^{k_1} (x^5)^{k_2} (1)^{k_3}$

где $k_1, k_2, k_3$ — неотрицательные целые числа, удовлетворяющие условию $k_1 + k_2 + k_3 = 20$.

Упростив выражение для общего члена, получим:

$\frac{20!}{k_1!k_2!k_3!} x^{7k_1 + 5k_2}$

Нас интересует член разложения, содержащий $x^{12}$. Следовательно, нам нужно найти такие значения $k_1$ и $k_2$, чтобы выполнялось равенство:

$7k_1 + 5k_2 = 12$

Решим это диофантово уравнение в неотрицательных целых числах. Проверим возможные значения для $k_1$:

- Если $k_1 = 0$, то $5k_2 = 12$. В этом случае $k_2 = \frac{12}{5}$, что не является целым числом.

- Если $k_1 = 1$, то $7(1) + 5k_2 = 12$, откуда $5k_2 = 5$ и $k_2 = 1$. Это решение нам подходит.

- Если $k_1 = 2$, то $7(2) + 5k_2 = 12$, откуда $14 + 5k_2 = 12$, что дает $5k_2 = -2$. Значение $k_2$ будет отрицательным, что недопустимо. Для всех $k_1 > 1$ значение $7k_1$ будет еще больше, что также приведет к отрицательным значениям $k_2$.

Таким образом, существует единственная пара неотрицательных целых чисел, удовлетворяющая уравнению: $k_1=1$ и $k_2=1$.

Теперь найдем соответствующее значение $k_3$ из условия $k_1 + k_2 + k_3 = 20$:

$1 + 1 + k_3 = 20 \Rightarrow k_3 = 18$.

Итак, существует только один набор показателей $(k_1, k_2, k_3) = (1, 1, 18)$, который дает нам член с $x^{12}$. Коэффициент при этом члене равен:

$\frac{20!}{1! \cdot 1! \cdot 18!} = \frac{20 \times 19 \times 18!}{1 \times 1 \times 18!} = 20 \times 19 = 380$.

Ответ: 380