Номер 6, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. Решите уравнение:

a) $\sqrt{2x^2 - x - 6} = -x;$

б) $\sqrt{x^2 - 4x + 5} = \sqrt{x - 1};$

В) $\sqrt{2x + 4} - \sqrt{7 - x} = 3;$

Г) $2\sqrt{x - 2} - \sqrt[4]{x - 2} = 15.$

а) Исходное уравнение: $$ \sqrt{2x^2 - x - 6} = -x $$ Для того чтобы уравнение имело смысл, необходимо выполнение двух условий (область допустимых значений - ОДЗ):
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x^2 - x - 6 \ge 0$.
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным: $-x \ge 0$, что равносильно $x \le 0$.

Решим неравенство $2x^2 - x - 6 \ge 0$. Сначала найдем корни уравнения $2x^2 - x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{1+7}{4} = 2$, $x_2 = \frac{1-7}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Парабола $y = 2x^2 - x - 6$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1.5] \cup [2; +\infty)$.

Объединяя условия ОДЗ, получаем: $(x \le -1.5 \text{ или } x \ge 2)$ и $x \le 0$. Следовательно, ОДЗ: $x \le -1.5$.

Теперь решим само уравнение, возведя обе части в квадрат: $$ (\sqrt{2x^2 - x - 6})^2 = (-x)^2 $$ $$ 2x^2 - x - 6 = x^2 $$ $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ По теореме Виета находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \le -1.5$):
$x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 \le -1.5$, значит, это посторонний корень.
$x_2 = -2$ удовлетворяет условию $-2 \le -1.5$.

Ответ: -2

б) Исходное уравнение: $$ \sqrt{x^2 - 4x + 5} = \sqrt{x - 1} $$ ОДЗ:
1. $x^2 - 4x + 5 \ge 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, а дискриминант отрицателен, выражение $x^2 - 4x + 5$ всегда положительно.
2. $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Общая ОДЗ: $x \ge 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x^2 - 4x + 5 = x - 1 $$ $$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$ По теореме Виета находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$):
$x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 1$.
$x_2 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 1$.
Оба корня подходят.

Ответ: 2, 3

в) Исходное уравнение: $$ \sqrt{2x + 4} - \sqrt{7 - x} = 3 $$ ОДЗ:
1. $2x + 4 \ge 0 \implies 2x \ge -4 \implies x \ge -2$.
2. $7 - x \ge 0 \implies x \le 7$.
Общая ОДЗ: $x \in [-2; 7]$.

Перенесем один из корней в правую часть: $$ \sqrt{2x + 4} = 3 + \sqrt{7 - x} $$ Возведем обе части в квадрат: $$ (\sqrt{2x + 4})^2 = (3 + \sqrt{7 - x})^2 $$ $$ 2x + 4 = 9 + 6\sqrt{7 - x} + (7 - x) $$ $$ 2x + 4 = 16 - x + 6\sqrt{7 - x} $$ Уединим оставшийся корень: $$ 3x - 12 = 6\sqrt{7 - x} $$ Разделим обе части на 3: $$ x - 4 = 2\sqrt{7 - x} $$ Так как правая часть $2\sqrt{7-x}$ неотрицательна, то и левая должна быть неотрицательной: $x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4$. С учетом ОДЗ получаем новое, более узкое условие: $x \in [4; 7]$.

Снова возведем в квадрат: $$ (x - 4)^2 = (2\sqrt{7 - x})^2 $$ $$ x^2 - 8x + 16 = 4(7 - x) $$ $$ x^2 - 8x + 16 = 28 - 4x $$ $$ x^2 - 4x - 12 = 0 $$ По теореме Виета находим корни: $x_1 = 6$, $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие условию $x \in [4; 7]$:
$x_1 = 6$ удовлетворяет условию.
$x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x \ge 4$, это посторонний корень.

Ответ: 6

г) Исходное уравнение: $$ 2\sqrt{x - 2} - \sqrt[4]{x - 2} = 15 $$ ОДЗ: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[4]{x - 2}$.
Так как корень четвертой степени всегда неотрицателен, то $y \ge 0$.
Тогда $\sqrt{x - 2} = (\sqrt[4]{x - 2})^2 = y^2$.
Подставим в уравнение: $$ 2y^2 - y = 15 $$ $$ 2y^2 - y - 15 = 0 $$ Решим квадратное уравнение относительно $y$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
Корни: $y_1 = \frac{1+11}{4} = \frac{12}{4} = 3$, $y_2 = \frac{1-11}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$.

Учитывая условие $y \ge 0$, корень $y_2 = -5/2$ является посторонним. Остается $y = 3$.

Выполним обратную замену: $$ \sqrt[4]{x - 2} = 3 $$ Возведем обе части в четвертую степень: $$ (\sqrt[4]{x - 2})^4 = 3^4 $$ $$ x - 2 = 81 $$ $$ x = 83 $$ Полученный корень $x=83$ удовлетворяет ОДЗ ($83 \ge 2$).

Ответ: 83