Номер 1022, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1022. Диагонали прямоугольника периметром 68 см разделяют его на четыре треугольные части (рис. 316). Найдите радиусы окружностей, вписанных в треугольные части, периметры которых отличаются на 14 см.

Рис. 316

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Его периметр $P = 2(a+b)$. По условию, $P = 68$ см, следовательно, $2(a+b) = 68$, откуда $a+b = 34$ см.

Диагонали прямоугольника равны, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Таким образом, прямоугольник разделяется на четыре равнобедренных треугольника, причем противолежащие треугольники равны. Рассмотрим два смежных треугольника, образованных диагоналями.

Пусть $d$ - длина диагонали. Боковые стороны каждого из этих треугольников равны половине диагонали, то есть $d/2$. Основаниями этих треугольников являются стороны прямоугольника $a$ и $b$.

Периметр первого треугольника: $P_1 = a + d/2 + d/2 = a+d$.
Периметр второго треугольника: $P_2 = b + d/2 + d/2 = b+d$.

Разность их периметров по условию равна 14 см: $|P_1 - P_2| = |(a+d) - (b+d)| = |a-b| = 14$ см.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} a+b = 34 \\ |a-b| = 14 \end{cases} $$ Предположим, что $a > b$, тогда $a-b=14$. Сложив два уравнения, получим $2a = 48$, откуда $a = 24$ см. Тогда $b = 34 - a = 34 - 24 = 10$ см. Итак, стороны прямоугольника равны 24 см и 10 см.

Найдем длину диагонали $d$ по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ см. Боковые стороны каждого из равнобедренных треугольников равны $d/2 = 26/2 = 13$ см.

Радиус вписанной в треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь, а $p$ — полупериметр треугольника.

Радиус для первого типа треугольников

Этот треугольник имеет стороны 13 см, 13 см и 24 см. Его периметр $P_1 = 13 + 13 + 24 = 50$ см, а полупериметр $p_1 = 50/2 = 25$ см. Найдем высоту $h_1$, опущенную на основание: $h_1 = \sqrt{13^2 - (24/2)^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см. Площадь треугольника: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$ см². Радиус вписанной окружности: $r_1 = \frac{S_1}{p_1} = \frac{60}{25} = 2,4$ см.

Радиус для второго типа треугольников

Этот треугольник имеет стороны 13 см, 13 см и 10 см. Его периметр $P_2 = 13 + 13 + 10 = 36$ см, а полупериметр $p_2 = 36/2 = 18$ см. Найдем высоту $h_2$, опущенную на основание: $h_2 = \sqrt{13^2 - (10/2)^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см. Площадь треугольника: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см². Радиус вписанной окружности: $r_2 = \frac{S_2}{p_2} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$ см.

Ответ: радиусы вписанных окружностей равны 2,4 см и $\frac{10}{3}$ см.