Номер 1074, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1074. Три окружности с радиусами 8 см, 5 см и 5 см попарно касаются. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся всех трех.

Для решения этой задачи используется теорема Декарта о четырех попарно касающихся окружностях. Теорема связывает радиусы (или кривизны) четырех таких окружностей.

Кривизна окружности $k$ определяется как $k = \pm 1/r$, где $r$ — радиус окружности. Знак «+» используется для окружностей, которые касаются остальных внешним образом, а знак «–» — для окружности, которая касается остальных внутренним образом (т.е. содержит их в себе).

Пусть радиусы трех данных окружностей равны $r_1 = 8$ см, $r_2 = 5$ см и $r_3 = 5$ см. Так как они касаются друг друга попарно внешним образом, их кривизны будут положительными:

$k_1 = 1/r_1 = 1/8$

$k_2 = 1/r_2 = 1/5$

$k_3 = 1/r_3 = 1/5$

Теорема Декарта гласит:

$(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2)$

где $k_4$ — кривизна искомой четвертой окружности.

Подставим известные значения кривизны в формулу. Сначала найдем сумму кривизн и сумму их квадратов:

$k_1 + k_2 + k_3 = 1/8 + 1/5 + 1/5 = 1/8 + 2/5 = 5/40 + 16/40 = 21/40$

$k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 = (1/8)^2 + (1/5)^2 + (1/5)^2 = 1/64 + 1/25 + 1/25 = 1/64 + 2/25 = 25/1600 + 128/1600 = 153/1600$

Теперь подставим эти суммы в уравнение теоремы:

$(21/40 + k_4)^2 = 2(153/1600 + k_4^2)$

Раскроем скобки:

$(21/40)^2 + 2 \cdot (21/40)k_4 + k_4^2 = 2 \cdot (153/1600) + 2k_4^2$

$441/1600 + 42/40 k_4 + k_4^2 = 306/1600 + 2k_4^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $k_4$:

$k_4^2 - 42/40 k_4 + (306/1600 - 441/1600) = 0$

$k_4^2 - 21/20 k_4 - 135/1600 = 0$

Упростим свободный член, разделив числитель и знаменатель на 5: $135/1600 = 27/320$.

$k_4^2 - (21/20)k_4 - 27/320 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-21/20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27/320) = 441/400 + 108/320 = 441/400 + 27/80 = 441/400 + 135/400 = 576/400 = (24/20)^2 = (6/5)^2$

Теперь найдем два возможных значения для $k_4$:

$k_4 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{21/20 \pm 6/5}{2} = \frac{21/20 \pm 24/20}{2}$

Первый корень: $k_{4,1} = \frac{21/20 + 24/20}{2} = \frac{45/20}{2} = \frac{9/4}{2} = 9/8$

Второй корень: $k_{4,2} = \frac{21/20 - 24/20}{2} = \frac{-3/20}{2} = -3/40$

Два значения кривизны соответствуют двум возможным окружностям, касающимся трех данных: одна маленькая, расположенная в промежутке между ними, и одна большая, которая их окружает.

1. Радиус малой окружности (касание внешнее)

Положительная кривизна $k_{4,1} = 9/8$ соответствует окружности, которая касается трех данных внешним образом. Ее радиус $r_4$ равен:

$r_4 = 1 / k_{4,1} = 1 / (9/8) = 8/9$ см.

Ответ: $8/9$ см.

2. Радиус большой окружности (касание внутреннее)

Отрицательная кривизна $k_{4,2} = -3/40$ соответствует окружности, которая касается трех данных внутренним образом, то есть заключает их в себе. Ее радиус $r'_4$ равен:

$r'_4 = 1 / |k_{4,2}| = 1 / |-3/40| = 40/3$ см, или $13 \frac{1}{3}$ см.

Ответ: $40/3$ см.