Номер 1111, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1111. В прямой треугольной призме с высотой $h$ двугранный угол при одном боковом ребре равен $60^\circ$, а при другом — $30^\circ$. Сечение призмы плоскостью, разделяющей пополам двугранный угол при третьем боковом ребре, имеет площадь $Q$. Найдите:

а) площадь боковой поверхности призмы;

б) площадь полной поверхности призмы;

в) объем призмы.

Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям, а боковые грани являются прямоугольниками. Двугранные углы при боковых ребрах равны соответствующим углам треугольника в основании. Пусть треугольник $ABC$ является основанием призмы. Обозначим его углы как $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$. По условию, два из этих углов равны $60^\circ$ и $30^\circ$. Пусть $\angle A = 60^\circ$ и $\angle B = 30^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle C = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. Следовательно, в основании призмы лежит прямоугольный треугольник.

Сечение призмы плоскостью, разделяющей пополам двугранный угол при третьем боковом ребре (соответствующем вершине $C$), является сечением, проходящим через биссектрису угла $C$ и боковое ребро. Так как призма прямая, это сечение будет прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника — высота призмы $h$, а другая — длина биссектрисы $l_c$ угла $C$ треугольника $ABC$. Площадь этого сечения равна $Q$, то есть $Q = l_c \cdot h$. Отсюда мы можем найти длину биссектрисы: $l_c = \frac{Q}{h}$.

Теперь найдем стороны треугольника $ABC$. Пусть $a$ и $b$ — катеты, противолежащие углам $A$ и $B$ соответственно, а $c$ — гипотенуза. $a = BC$, $b = AC$. Формула для длины биссектрисы прямого угла ($\gamma = 90^\circ$): $l_c = \frac{ab\sqrt{2}}{a+b}$. В прямоугольном треугольнике с углами $30^\circ$ и $60^\circ$ катеты связаны соотношением $a = b \cdot \tan(60^\circ) = b\sqrt{3}$. Подставим это соотношение в формулу для биссектрисы: $l_c = \frac{(b\sqrt{3})b\sqrt{2}}{b\sqrt{3}+b} = \frac{b^2\sqrt{6}}{b(\sqrt{3}+1)} = \frac{b\sqrt{6}}{\sqrt{3}+1}$. Теперь выразим катет $b$ через $l_c = Q/h$: $b = l_c \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{6}} = \frac{Q}{h} \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{6}}$. Теперь найдем второй катет $a$: $a = b\sqrt{3} = \frac{Q}{h} \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{6}} \sqrt{3} = \frac{Q}{h} \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$. И гипотенузу $c$. Так как $\angle B = 30^\circ$, катет $b$ лежит против этого угла, и значит $c = 2b$. $c = 2b = 2 \frac{Q}{h} \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{6}} = \frac{Q}{h} \frac{2(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{6}}$.

а) площадь боковой поверхности призмы;

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ равна произведению периметра основания $P$ на высоту $h$: $S_{бок} = P \cdot h$. Периметр основания $P = a+b+c$. $P = \frac{Q}{h} \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} + \frac{Q}{h} \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{6}} + \frac{Q}{h} \frac{2(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{6}} = \frac{Q(\sqrt{3}+1)}{h} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{6}} + \frac{2}{\sqrt{6}} \right)$ $P = \frac{Q(\sqrt{3}+1)}{h} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{6}} \right) = \frac{Q(\sqrt{3}+1)}{h} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{6}}{6} \right) = \frac{Q(\sqrt{3}+1)}{h} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} \right)$ $P = \frac{Q(\sqrt{3}+1)}{2h} (\sqrt{2}+\sqrt{6}) = \frac{Q(\sqrt{3}+1)}{2h} \sqrt{2}(1+\sqrt{3}) = \frac{Q\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)^2}{2h}$ $(\sqrt{3}+1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4+2\sqrt{3} = 2(2+\sqrt{3})$. $P = \frac{Q\sqrt{2} \cdot 2(2+\sqrt{3})}{2h} = \frac{Q\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{h} = \frac{Q(2\sqrt{2}+\sqrt{6})}{h}$. Теперь находим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P \cdot h = \frac{Q(2\sqrt{2}+\sqrt{6})}{h} \cdot h = Q(2\sqrt{2}+\sqrt{6})$.
Ответ: $Q(2\sqrt{2}+\sqrt{6})$.

б) площадь полной поверхности призмы;

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания $S_{осн}$: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$. Площадь основания (прямоугольного треугольника) $S_{осн} = \frac{1}{2}ab$. $S_{осн} = \frac{1}{2} \left( \frac{Q}{h} \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{Q}{h} \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{6}} \right) = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{h^2} \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{\sqrt{12}} = \frac{Q^2}{2h^2} \frac{4+2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$ $S_{осн} = \frac{Q^2}{2h^2} \frac{2(2+\sqrt{3})}{2\sqrt{3}} = \frac{Q^2(2+\sqrt{3})}{2h^2\sqrt{3}} = \frac{Q^2(2\sqrt{3}+3)}{6h^2}$. Теперь находим площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = Q(2\sqrt{2}+\sqrt{6}) + 2 \cdot \frac{Q^2(3+2\sqrt{3})}{6h^2} = Q(2\sqrt{2}+\sqrt{6}) + \frac{Q^2(3+2\sqrt{3})}{3h^2}$.
Ответ: $Q(2\sqrt{2}+\sqrt{6}) + \frac{Q^2(3+2\sqrt{3})}{3h^2}$.

в) объем призмы.

Объем прямой призмы $V$ равен произведению площади основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot h$. Мы уже нашли площадь основания: $S_{осн} = \frac{Q^2(3+2\sqrt{3})}{6h^2}$. $V = \frac{Q^2(3+2\sqrt{3})}{6h^2} \cdot h = \frac{Q^2(3+2\sqrt{3})}{6h}$.
Ответ: $\frac{Q^2(3+2\sqrt{3})}{6h}$.