Номер 1136, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1136. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны $a$ и $b$. Ее меньшее основание служит основанием другой пирамиды, вершина которой совпадает с центром большего основания усеченной пирамиды (рис. 346). Учитывая, что боковые поверхности пирамид равны, найдите их общую высоту.

Рис. 346

Обозначим искомую общую высоту как $h$. Она является высотой как для усеченной пирамиды, так и для второй пирамиды, построенной на ее меньшем основании.

Сначала найдем площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, $S_{усеч}$. Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных трапеций с основаниями $a$ и $b$. Ее площадь вычисляется как произведение полусуммы периметров оснований на апофему $l$ (высоту боковой грани).

$S_{усеч} = \frac{4a + 4b}{2} \cdot l = 2(a+b)l$

Апофему $l$ найдем из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота усеченной пирамиды $h$ и полуразность длин отрезков, соединяющих центры оснований с серединами их сторон, то есть $\frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a-b}{2}$. Апофема $l$ является гипотенузой этого треугольника.

По теореме Пифагора:

$l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{h^2 + \frac{(a-b)^2}{4}}$

Подставив это в формулу площади, получим:

$S_{усеч} = 2(a+b)\sqrt{h^2 + \frac{(a-b)^2}{4}}$

Далее найдем площадь боковой поверхности второй пирамиды, $S_{пир}$. Ее основанием является квадрат со стороной $b$, а вершина совпадает с центром большего основания усеченной пирамиды. Высота этой пирамиды также равна $h$.

Площадь боковой поверхности этой пирамиды вычисляется как половина произведения периметра основания на апофему $l_2$. Периметр основания равен $4b$.

$S_{пир} = \frac{1}{2}(4b)l_2 = 2bl_2$

Апофему $l_2$ найдем из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота $h$ и половина стороны основания $\frac{b}{2}$.

$l_2 = \sqrt{h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{h^2 + \frac{b^2}{4}}$

Следовательно, площадь боковой поверхности второй пирамиды равна:

$S_{пир} = 2b\sqrt{h^2 + \frac{b^2}{4}}$

По условию задачи, площади боковых поверхностей равны: $S_{усеч} = S_{пир}$.

$2(a+b)\sqrt{h^2 + \frac{(a-b)^2}{4}} = 2b\sqrt{h^2 + \frac{b^2}{4}}$

Сократим на 2 и возведем обе части уравнения в квадрат:

$(a+b)^2\left(h^2 + \frac{(a-b)^2}{4}\right) = b^2\left(h^2 + \frac{b^2}{4}\right)$

$(a+b)^2 h^2 + \frac{(a+b)^2(a-b)^2}{4} = b^2 h^2 + \frac{b^4}{4}$

Используя формулу разности квадратов, $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, получаем:

$(a+b)^2 h^2 + \frac{(a^2-b^2)^2}{4} = b^2 h^2 + \frac{b^4}{4}$

Сгруппируем члены, содержащие $h^2$, в левой части, а остальные - в правой:

$h^2((a+b)^2 - b^2) = \frac{b^4 - (a^2-b^2)^2}{4}$

$h^2(a^2+2ab+b^2 - b^2) = \frac{b^4 - (a^4 - 2a^2b^2 + b^4)}{4}$

$h^2(a^2+2ab) = \frac{2a^2b^2 - a^4}{4}$

$h^2 a(a+2b) = \frac{a^2(2b^2 - a^2)}{4}$

Так как $a$ — сторона основания, $a > 0$. Разделим обе части на $a$:

$h^2(a+2b) = \frac{a(2b^2 - a^2)}{4}$

Отсюда выразим $h^2$:

$h^2 = \frac{a(2b^2 - a^2)}{4(a+2b)}$

Извлекая квадратный корень, получаем искомую высоту $h$. Отметим, что для существования действительного решения необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным. Так как $a, b > 0$, то $a+2b>0$, следовательно, должно выполняться условие $2b^2 - a^2 \ge 0$, или $a \le b\sqrt{2}$.

$h = \sqrt{\frac{a(2b^2 - a^2)}{4(a+2b)}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a(2b^2 - a^2)}{a+2b}}$

Ответ: $h = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a(2b^2 - a^2)}{a+2b}}$