Номер 115, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

115. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ одной плоскости отмечены на лучах $SA$, $SB$, $SC$ и $SD$ так, что $SA : AA_1 = SB : BB_1$ (рис. 49). Можно ли утверждать, что $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм, если $ABCD$ — параллелограмм?

Рис. 49

Нет, утверждать, что $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм, в общем случае нельзя. Чтобы это показать, проанализируем условия задачи с помощью векторов и построим контрпример.

Введем векторы с началом в точке $S$: $\vec{SA} = \vec{a}$, $\vec{SB} = \vec{b}$, $\vec{SC} = \vec{c}$, $\vec{SD} = \vec{d}$.

Поскольку точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ лежат на лучах $SA, SB, SC, SD$ соответственно, то существуют положительные коэффициенты $k_A, k_B, k_C, k_D$ такие, что:

$\vec{SA_1} = k_A \vec{a}$, $\vec{SB_1} = k_B \vec{b}$, $\vec{SC_1} = k_C \vec{c}$, $\vec{SD_1} = k_D \vec{d}$.

Из условия $SA : AA_1 = SB : BB_1$ и того, что точки $A_1, B_1$ лежат на отрезках $SA, SB$ (согласно рисунку), следует равенство отношений длин отрезков, отложенных от вершины $S$: $\frac{SA_1}{SA} = \frac{SB_1}{SB}$. Следовательно, коэффициенты пропорциональности равны: $k_A = k_B$. Обозначим это общее значение как $k_1$.

По условию, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. В векторной форме это означает, что $\vec{AB} = \vec{DC}$, то есть $\vec{b} - \vec{a} = \vec{c} - \vec{d}$. Это эквивалентно равенству $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$.

Также дано, что точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ лежат в одной плоскости. Это означает, что векторы $\vec{A_1B_1}$, $\vec{A_1C_1}$ и $\vec{A_1D_1}$ компланарны. Выразим их через базисные векторы:

$\vec{A_1B_1} = \vec{SB_1} - \vec{SA_1} = k_1\vec{b} - k_1\vec{a} = k_1(\vec{b}-\vec{a})$

$\vec{A_1C_1} = \vec{SC_1} - \vec{SA_1} = k_C\vec{c} - k_1\vec{a}$

$\vec{A_1D_1} = \vec{SD_1} - \vec{SA_1} = k_D\vec{d} - k_1\vec{a}$

Условие компланарности означает, что существуют такие числа $x$ и $y$, что $\vec{A_1C_1} = x\vec{A_1B_1} + y\vec{A_1D_1}$. Подставив выражения для векторов и $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a} + \vec{d}$ и приравняв коэффициенты при линейно независимых векторах $\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}$ (предполагая, что точка $S$ не лежит в плоскости $ABCD$), получим:

$k_C(\vec{b} - \vec{a} + \vec{d}) - k_1\vec{a} = x k_1(\vec{b}-\vec{a}) + y(k_D\vec{d} - k_1\vec{a})$

Сравнивая коэффициенты, находим, что это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $k_C = k_D$. Обозначим это общее значение как $k_2$.

Таким образом, из всех условий задачи следует, что $\frac{SA_1}{SA} = \frac{SB_1}{SB} = k_1$ и $\frac{SC_1}{SC} = \frac{SD_1}{SD} = k_2$.

Теперь проверим, является ли $A_1B_1C_1D_1$ параллелограммом. Для этого необходимо, чтобы выполнялось векторное равенство $\vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1}$.

$\vec{A_1B_1} = k_1(\vec{b}-\vec{a})$

$\vec{D_1C_1} = \vec{SC_1} - \vec{SD_1} = k_2\vec{c} - k_2\vec{d} = k_2(\vec{c}-\vec{d})$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{b}-\vec{a} = \vec{c}-\vec{d}$. Чтобы векторы $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{D_1C_1}$ были равны, необходимо, чтобы $k_1(\vec{b}-\vec{a}) = k_2(\vec{b}-\vec{a})$, что, в свою очередь, требует $k_1 = k_2$.

Однако из условий задачи не следует, что $k_1$ обязательно должно быть равно $k_2$. Мы можем построить контрпример, где все условия выполнены, но $k_1 \neq k_2$.

Контрпример:

Пусть $S$ — начало координат $(0,0,0)$. Выберем вершины параллелограмма $ABCD$ в плоскости $z=2$: $A=(1,0,2)$, $B=(2,1,2)$, $D=(0,1,2)$. Тогда $C = B-A+D = (1,2,2)$.

Выберем разные коэффициенты $k_1$ и $k_2$, например, $k_1 = \frac{1}{2}$ и $k_2 = \frac{1}{3}$.

Тогда координаты точек $A_1, B_1, C_1, D_1$ будут:

$A_1 = k_1 A = (\frac{1}{2}, 0, 1)$

$B_1 = k_1 B = (1, \frac{1}{2}, 1)$

$C_1 = k_2 C = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

$D_1 = k_2 D = (0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

В этом случае все условия задачи выполнены: $ABCD$ — параллелограмм, $SA:AA_1 = SB:BB_1$ (так как $k_A=k_B=k_1$), и точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ лежат в одной плоскости (так как $k_C=k_D=k_2$).

Теперь проверим, является ли $A_1B_1C_1D_1$ параллелограммом, сравнив векторы $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{D_1C_1}$:

$\vec{A_1B_1} = B_1 - A_1 = (1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - 0, 1 - 1) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$

$\vec{D_1C_1} = C_1 - D_1 = (\frac{1}{3} - 0, \frac{2}{3} - \frac{1}{3}, \frac{2}{3} - \frac{2}{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 0)$

Поскольку $\vec{A_1B_1} \neq \vec{D_1C_1}$, четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ не является параллелограммом. Этот пример показывает, что из данных условий не всегда следует, что $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм.

Ответ: Нет, нельзя.