Номер 1166, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1166. Докажите, что точки $A(-1; 2; 1)$, $B(-2; 1; -1)$, $C(0; -1; 2)$ лежат на одной прямой.

Для того чтобы доказать, что три точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, необходимо показать, что векторы, составленные из этих точек (например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$), коллинеарны. Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

Даны точки с координатами: $A(-1; 2; 1)$, $B(-2; 1; -1)$, $C(0; -1; 2)$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$
Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$
$\vec{AB} = (-2 - (-1); 1 - 2; -1 - 1) = (-1; -1; -2)$

2. Найдем координаты вектора $\vec{AC}$
Аналогично находим координаты вектора $\vec{AC}$:
$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A)$
$\vec{AC} = (0 - (-1); -1 - 2; 2 - 1) = (1; -3; 1)$

3. Проверим коллинеарность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$
Векторы коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$. Это эквивалентно пропорциональности их координат:
$\frac{x_{AC}}{x_{AB}} = \frac{y_{AC}}{y_{AB}} = \frac{z_{AC}}{z_{AB}}$
Подставим найденные координаты:
$\frac{1}{-1} = \frac{-3}{-1} = \frac{1}{-2}$
Вычислим значения отношений:
$-1 = 3 = -0.5$
Полученное равенство неверно, так как $-1 \neq 3 \neq -0.5$.

Поскольку координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ не пропорциональны, эти векторы не являются коллинеарными. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если бы, например, координаты точки C были $(0; 3; 3)$, то вектор $\vec{AC}$ был бы равен $(1; 1; 2)$, и тогда векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ были бы коллинеарны, так как $\vec{AC} = -1 \cdot \vec{AB}$.

Ответ: На основании приведенных в условии координат доказать, что точки лежат на одной прямой, невозможно, так как они не лежат на одной прямой. Векторы $\vec{AB}\{-1; -1; -2\}$ и $\vec{AC}\{1; -3; 1\}$ не коллинеарны.