Номер 1226, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1226. Через вершину C параллелограмма ABCD проведены прямые $l_1$ и $l_2$, пересекающие соответственно прямую $AB$ в точках $M_1$ и $M_2$, а прямую $AD$ — в точках $N_1$ и $N_2$ (рис. 359). Докажите, что если $\overline{M_1 B} = k \cdot \overline{B M_2}$, то $\overline{N_2 D} = k \cdot \overline{D N_1}$.

Рис. 359

Введем аффинную систему координат с началом в вершине $A$ параллелограмма $ABCD$, и базисными векторами $\vec{b} = \vec{AB}$ и $\vec{d} = \vec{AD}$. В этой системе координат вершины параллелограмма имеют следующие радиус-векторы: $A(\vec{0})$, $B(\vec{b})$, $D(\vec{d})$ и $C(\vec{b}+\vec{d})$.

Прямая $l_1$ проходит через вершину $C$. Точка $M_1$ лежит на прямой $AB$, следовательно, ее радиус-вектор $\vec{AM_1}$ коллинеарен вектору $\vec{AB}$. Таким образом, $\vec{AM_1} = m_1\vec{b}$ для некоторого действительного числа $m_1$. Аналогично, точка $N_1$ лежит на прямой $AD$, поэтому $\vec{AN_1} = n_1\vec{d}$ для некоторого действительного числа $n_1$.

Поскольку точки $C$, $M_1$ и $N_1$ лежат на одной прямой $l_1$, векторы $\vec{CM_1}$ и $\vec{CN_1}$ коллинеарны. Выразим эти векторы:

$\vec{CM_1} = \vec{AM_1} - \vec{AC} = m_1\vec{b} - (\vec{b} + \vec{d}) = (m_1 - 1)\vec{b} - \vec{d}$

$\vec{CN_1} = \vec{AN_1} - \vec{AC} = n_1\vec{d} - (\vec{b} + \vec{d}) = -\vec{b} + (n_1 - 1)\vec{d}$

Условие коллинеарности векторов $\vec{CM_1}$ и $\vec{CN_1}$ означает, что существует такое число $\lambda$, что $\vec{CM_1} = \lambda\vec{CN_1}$.

$(m_1 - 1)\vec{b} - \vec{d} = \lambda(-\vec{b} + (n_1 - 1)\vec{d})$

Так как векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ не коллинеарны (по определению параллелограмма), равенство векторов возможно только при равенстве их соответствующих координат в базисе $(\vec{b}, \vec{d})$:

$\begin{cases} m_1 - 1 = -\lambda \\ -1 = \lambda(n_1 - 1) \end{cases}$

Исключая $\lambda$ из системы уравнений, получаем: $m_1 - 1 = - \left( \frac{-1}{n_1 - 1} \right)$, что приводит к соотношению:

$(m_1 - 1)(n_1 - 1) = 1$

Абсолютно аналогичные рассуждения для прямой $l_2$, проходящей через точки $C$, $M_2$ и $N_2$ (где $\vec{AM_2} = m_2\vec{b}$ и $\vec{AN_2} = n_2\vec{d}$), приводят к соотношению:

$(m_2 - 1)(n_2 - 1) = 1$

Теперь рассмотрим условие, данное в задаче: $\vec{M_1B} = k \cdot \vec{BM_2}$. Выразим векторы в левой и правой частях через базис:

$\vec{M_1B} = \vec{AB} - \vec{AM_1} = \vec{b} - m_1\vec{b} = (1 - m_1)\vec{b}$

$\vec{BM_2} = \vec{AM_2} - \vec{AB} = m_2\vec{b} - \vec{b} = (m_2 - 1)\vec{b}$

Подставляя эти выражения в условие, получаем:

$(1 - m_1)\vec{b} = k(m_2 - 1)\vec{b}$

Поскольку $\vec{b} \ne \vec{0}$, мы можем приравнять скалярные коэффициенты:

$1 - m_1 = k(m_2 - 1)$

Перепишем это равенство в виде: $m_1 - 1 = -k(m_2 - 1)$.

Теперь перейдем к утверждению, которое необходимо доказать: $\vec{N_2D} = k \cdot \vec{DN_1}$. Выразим векторы в этом равенстве через базис:

$\vec{N_2D} = \vec{AD} - \vec{AN_2} = \vec{d} - n_2\vec{d} = (1 - n_2)\vec{d}$

$\vec{DN_1} = \vec{AN_1} - \vec{AD} = n_1\vec{d} - \vec{d} = (n_1 - 1)\vec{d}$

Таким образом, нам нужно доказать, что $(1 - n_2)\vec{d} = k(n_1 - 1)\vec{d}$, что эквивалентно доказательству скалярного равенства:

$1 - n_2 = k(n_1 - 1)$

Перепишем это равенство в виде: $n_2 - 1 = -k(n_1 - 1)$.

Для доказательства воспользуемся полученными ранее соотношениями для $m_1, n_1$ и $m_2, n_2$:

Из $(m_1 - 1)(n_1 - 1) = 1$ следует, что $n_1 - 1 = \frac{1}{m_1 - 1}$.

Из $(m_2 - 1)(n_2 - 1) = 1$ следует, что $n_2 - 1 = \frac{1}{m_2 - 1}$.

Подставим эти выражения в равенство, которое требуется доказать:

$\frac{1}{m_2 - 1} = -k \left( \frac{1}{m_1 - 1} \right)$

Умножим обе части на $(m_1 - 1)(m_2 - 1)$ (при условии, что $M_1, M_2$ не совпадают с $B$, а $N_1, N_2$ не совпадают с $D$, что следует из условия $k \ne 0$):

$m_1 - 1 = -k(m_2 - 1)$

Мы получили в точности то равенство, которое было выведено из условия задачи. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.