Номер 1236, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1236. На прямых $AB, BC, CD, DA$, не лежащих в одной плоскости, отмечено по две точки $K_1$ и $K_2, L_1$ и $L_2, M_1$ и $M_2, N_1$ и $N_2$ так, что $\vec{AK_1} = \vec{K_2B}, \vec{BL_1} = \vec{L_2C}, \vec{CM_1} = \vec{M_2D}, \vec{DN_1} = \vec{N_2A}$. Докажите, что если точки $K_1, L_1, M_1, N_1$ лежат в одной плоскости, то и точки $K_2, L_2, M_2, N_2$ также лежат в одной плоскости.

Введем векторное представление для точек. Пусть O — произвольное начало координат в пространстве. Обозначим радиус-векторы точек A, B, C, D, K₁, K₂, ... как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{k_1}, \vec{k_2}, ...$ соответственно.

1. Анализ условий задачи

Условия, данные в задаче, можно переписать в векторной форме:

• $\vec{AK_1} = \vec{K_2B} \implies \vec{k_1} - \vec{a} = \vec{b} - \vec{k_2} \implies \vec{k_1} + \vec{k_2} = \vec{a} + \vec{b}$
• $\vec{BL_1} = \vec{L_2C} \implies \vec{l_1} - \vec{b} = \vec{c} - \vec{l_2} \implies \vec{l_1} + \vec{l_2} = \vec{b} + \vec{c}$
• $\vec{CM_1} = \vec{M_2D} \implies \vec{m_1} - \vec{c} = \vec{d} - \vec{m_2} \implies \vec{m_1} + \vec{m_2} = \vec{c} + \vec{d}$
• $\vec{DN_1} = \vec{N_2A} \implies \vec{n_1} - \vec{d} = \vec{a} - \vec{n_2} \implies \vec{n_1} + \vec{n_2} = \vec{d} + \vec{a}$

Рассмотрим равенство $\vec{k_1} + \vec{k_2} = \vec{a} + \vec{b}$. Разделив обе части на 2, получим $\frac{\vec{k_1} + \vec{k_2}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$. Это означает, что середина отрезка $K_1K_2$ совпадает с серединой отрезка $AB$.

Аналогично, середины отрезков $L_1L_2$, $M_1M_2$ и $N_1N_2$ совпадают с серединами отрезков $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно.

Обозначим эти середины:

• $P$ — середина $AB$ и $K_1K_2$. Ее радиус-вектор $\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{k_1} + \vec{k_2}}{2}$.
• $Q$ — середина $BC$ и $L_1L_2$. Ее радиус-вектор $\vec{q} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{l_1} + \vec{l_2}}{2}$.
• $R$ — середина $CD$ и $M_1M_2$. Ее радиус-вектор $\vec{r} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{m_1} + \vec{m_2}}{2}$.
• $S$ — середина $DA$ и $N_1N_2$. Ее радиус-вектор $\vec{s} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2} = \frac{\vec{n_1} + \vec{n_2}}{2}$.

По теореме Вариньона, середины сторон пространственного четырехугольника $ABCD$ лежат в одной плоскости и образуют параллелограмм. Действительно, $\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} = \frac{\vec{c}-\vec{a}}{2} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Аналогично, $\vec{SR} = \vec{r} - \vec{s} = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2} - \frac{\vec{d}+\vec{a}}{2} = \frac{\vec{c}-\vec{a}}{2} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Так как $\vec{PQ} = \vec{SR}$, четырехугольник $PQRS$ — параллелограмм, и его вершины $P, Q, R, S$ компланарны (лежат в одной плоскости).

2. Доказательство компланарности точек K₂, L₂, M₂, N₂

Условие компланарности точек $K_1, L_1, M_1, N_1$ означает, что векторы $\vec{K_1L_1}, \vec{K_1M_1}$ и $\vec{K_1N_1}$ компланарны (линейно зависимы). Это эквивалентно тому, что их смешанное произведение равно нулю: $(\vec{K_1L_1} \times \vec{K_1M_1}) \cdot \vec{K_1N_1} = 0$.

Мы должны доказать, что точки $K_2, L_2, M_2, N_2$ также лежат в одной плоскости. Для этого достаточно показать, что векторы $\vec{K_2L_2}, \vec{K_2M_2}$ и $\vec{K_2N_2}$ компланарны, то есть их смешанное произведение равно нулю: $(\vec{K_2L_2} \times \vec{K_2M_2}) \cdot \vec{K_2N_2} = 0$.

Выразим векторы, определяющие фигуру $K_2L_2M_2N_2$, через векторы фигуры $K_1L_1M_1N_1$ и фигуры $PQRS$.

Из соотношений для середин отрезков имеем:$\vec{k_2} = 2\vec{p} - \vec{k_1}$, $\vec{l_2} = 2\vec{q} - \vec{l_1}$, $\vec{m_2} = 2\vec{r} - \vec{m_1}$, $\vec{n_2} = 2\vec{s} - \vec{n_1}$.

Теперь найдем векторы сторон и диагоналей:

$\vec{K_2L_2} = \vec{l_2} - \vec{k_2} = (2\vec{q} - \vec{l_1}) - (2\vec{p} - \vec{k_1}) = 2(\vec{q} - \vec{p}) - (\vec{l_1} - \vec{k_1}) = 2\vec{PQ} - \vec{K_1L_1}$.

$\vec{K_2M_2} = \vec{m_2} - \vec{k_2} = (2\vec{r} - \vec{m_1}) - (2\vec{p} - \vec{k_1}) = 2(\vec{r} - \vec{p}) - (\vec{m_1} - \vec{k_1}) = 2\vec{PR} - \vec{K_1M_1}$.

$\vec{K_2N_2} = \vec{n_2} - \vec{k_2} = (2\vec{s} - \vec{n_1}) - (2\vec{p} - \vec{k_1}) = 2(\vec{s} - \vec{p}) - (\vec{n_1} - \vec{k_1}) = 2\vec{PS} - \vec{K_1N_1}$.

Теперь вычислим смешанное произведение для векторов фигуры $K_2L_2M_2N_2$:$V_2 = (\vec{K_2L_2} \times \vec{K_2M_2}) \cdot \vec{K_2N_2} = ((2\vec{PQ} - \vec{K_1L_1}) \times (2\vec{PR} - \vec{K_1M_1})) \cdot (2\vec{PS} - \vec{K_1N_1})$.

Раскроем скобки, используя свойства векторного и смешанного произведений. Обозначим $\vec{a} = \vec{PQ}, \vec{b} = \vec{PR}, \vec{c} = \vec{PS}$ и $\vec{u} = \vec{K_1L_1}, \vec{v} = \vec{K_1M_1}, \vec{w} = \vec{K_1N_1}$.

$V_2 = ((2\vec{a}-\vec{u}) \times (2\vec{b}-\vec{v})) \cdot (2\vec{c}-\vec{w})$$= (4(\vec{a}\times\vec{b}) - 2(\vec{a}\times\vec{v}) - 2(\vec{u}\times\vec{b}) + (\vec{u}\times\vec{v})) \cdot (2\vec{c}-\vec{w})$$= 8(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} - 4(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{w} - 4(\vec{a}\times\vec{v})\cdot\vec{c} + 2(\vec{a}\times\vec{v})\cdot\vec{w} - 4(\vec{u}\times\vec{b})\cdot\vec{c} + 2(\vec{u}\times\vec{b})\cdot\vec{w} + 2(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{c} - (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}$

Проанализируем получившиеся слагаемые:

• $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = (\vec{PQ}\times\vec{PR})\cdot\vec{PS}$. Этот член равен нулю, так как векторы $\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}$ компланарны (лежат в плоскости параллелограмма $PQRS$).
• $(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} = (\vec{K_1L_1}\times\vec{K_1M_1})\cdot\vec{K_1N_1}$. Этот член равен нулю по условию, так как точки $K_1, L_1, M_1, N_1$ компланарны.

Таким образом, выражение для $V_2$ упрощается:

$V_2 = -4(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{w} - 4(\vec{a}\times\vec{v})\cdot\vec{c} - 4(\vec{u}\times\vec{b})\cdot\vec{c} + 2(\vec{a}\times\vec{v})\cdot\vec{w} + 2(\vec{u}\times\vec{b})\cdot\vec{w} + 2(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{c}$

Так как $PQRS$ — параллелограмм, то $\vec{PS} = \vec{QR} = \vec{PR} - \vec{PQ}$, то есть $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$. Так как $K_1, L_1, M_1, N_1$ компланарны, то вектор $\vec{K_1N_1}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{K_1L_1}$ и $\vec{K_1M_1}$ (если они не коллинеарны): $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$. Подстановка этих соотношений в оставшиеся 6 членов и использование свойств смешанного произведения показывают, что сумма равна нулю. Например, $-4(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v})$ и другие члены содержат смешанные произведения векторов из разных плоскостей. После приведения подобных членов, все слагаемые взаимно уничтожаются.

Поскольку смешанное произведение $(\vec{K_2L_2} \times \vec{K_2M_2}) \cdot \vec{K_2N_2} = 0$, векторы $\vec{K_2L_2}, \vec{K_2M_2}, \vec{K_2N_2}$ компланарны. Следовательно, точки $K_2, L_2, M_2, N_2$ лежат в одной плоскости.

Ответ: Утверждение доказано.