Номер 1248, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1248. В окружность с радиусом $R$ вписан правильный $n$-угольник.

Найдите сумму квадратов расстояний от одной из его вершин до остальных.

Пусть вершины правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$ с центром в точке O, обозначены как $A_0, A_1, \ldots, A_{n-1}$. Нам необходимо найти сумму квадратов расстояний от одной вершины, например $A_0$, до всех остальных вершин.

Искомая сумма $S$ равна:$S = |A_0A_1|^2 + |A_0A_2|^2 + \ldots + |A_0A_{n-1}|^2 = \sum_{k=1}^{n-1} |A_0A_k|^2$

Для нахождения длины отрезка $A_0A_k$ рассмотрим треугольник $\triangle OA_0A_k$. Этот треугольник является равнобедренным, так как его стороны $OA_0$ и $OA_k$ равны радиусу окружности $R$. Угол между этими сторонами, $\angle A_0OA_k$, является центральным углом, опирающимся на дугу, которая соединяет вершины $A_0$ и $A_k$ и содержит $k$ сторон n-угольника.

Поскольку n-угольник правильный, центральный угол, соответствующий одной его стороне, равен $\frac{2\pi}{n}$ радиан. Следовательно, угол $\angle A_0OA_k$ равен $k \cdot \frac{2\pi}{n} = \frac{2\pi k}{n}$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle OA_0A_k$ для нахождения квадрата длины стороны $A_0A_k$:$|A_0A_k|^2 = |OA_0|^2 + |OA_k|^2 - 2 \cdot |OA_0| \cdot |OA_k| \cdot \cos(\angle A_0OA_k)$$|A_0A_k|^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)$$|A_0A_k|^2 = 2R^2\left(1 - \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\right)$

Теперь найдем сумму квадратов расстояний, подставив полученное выражение в формулу для $S$:$S = \sum_{k=1}^{n-1} 2R^2\left(1 - \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\right)$$S = 2R^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left(1 - \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\right)$$S = 2R^2 \left( \sum_{k=1}^{n-1} 1 - \sum_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) \right)$

Вычислим каждую из сумм в скобках. Первая сумма:$\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n-1$

Для вычисления второй суммы, $\sum_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)$, рассмотрим сумму корней $n$-й степени из единицы в комплексной плоскости. Эти корни, $z_k = e^{i\frac{2\pi k}{n}} = \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right)$ для $k=0, 1, \ldots, n-1$, образуют вершины правильного n-угольника. Сумма всех этих корней равна нулю:$\sum_{k=0}^{n-1} z_k = \sum_{k=0}^{n-1} e^{i\frac{2\pi k}{n}} = 0$

Сумма действительных частей этих комплексных чисел также должна быть равна нулю:$\text{Re}\left(\sum_{k=0}^{n-1} z_k\right) = \sum_{k=0}^{n-1} \text{Re}(z_k) = \sum_{k=0}^{n-1} \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) = 0$

Распишем эту сумму:$\cos\left(\frac{2\pi \cdot 0}{n}\right) + \cos\left(\frac{2\pi \cdot 1}{n}\right) + \ldots + \cos\left(\frac{2\pi (n-1)}{n}\right) = 0$$\cos(0) + \sum_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) = 0$$1 + \sum_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) = 0$

Отсюда получаем:$\sum_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) = -1$

Теперь подставим найденные значения сумм в выражение для $S$:$S = 2R^2 \left( (n-1) - (-1) \right)$$S = 2R^2 (n-1+1)$$S = 2nR^2$

Ответ: $2nR^2$