Номер 1271, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1271. Через длины ребер треугольной пирамиды $ABCD$ выразите:

a) косинус угла между ребрами $AB$ и $CD$;

б) расстояние от вершины $D$ до точки пересечения медиан треугольника $ABC$.

а) косинус угла между ребрами AB и CD;

Обозначим через $\varphi$ угол между скрещивающимися прямыми, содержащими ребра $AB$ и $CD$ тетраэдра $ABCD$. Косинус этого угла можно найти с помощью скалярного произведения векторов. Угол между скрещивающимися прямыми по определению находится в промежутке $[0, \pi/2]$, поэтому его косинус неотрицателен.

Введем векторы, соответствующие ребрам, выходящим из одной вершины, например, из вершины A: $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{c} = \vec{AC}$, $\vec{d} = \vec{AD}$. Тогда вектор ребра $CD$ можно выразить через них: $\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} = \vec{d} - \vec{c}$.

Косинус угла $\varphi$ между прямыми $AB$ и $CD$ определяется формулой:
$\cos \varphi = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CD}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} = \frac{|\vec{b} \cdot (\vec{d} - \vec{c})|}{AB \cdot CD}$.

Найдем скалярное произведение $\vec{b} \cdot (\vec{d} - \vec{c}) = \vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c}$.

Скалярные произведения $\vec{b} \cdot \vec{d}$ и $\vec{b} \cdot \vec{c}$ выразим через длины ребер с помощью теоремы косинусов для треугольников $ABD$ и $ABC$:
Из $\triangle ABD$: $BD^2 = |\vec{AD} - \vec{AB}|^2 = |\vec{d} - \vec{b}|^2 = |\vec{d}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{d} + |\vec{b}|^2 = AD^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{d} + AB^2$.
Отсюда $2\vec{b} \cdot \vec{d} = AB^2 + AD^2 - BD^2$.
Из $\triangle ABC$: $BC^2 = |\vec{AC} - \vec{AB}|^2 = |\vec{c} - \vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{b}|^2 = AC^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + AB^2$.
Отсюда $2\vec{b} \cdot \vec{c} = AB^2 + AC^2 - BC^2$.

Подставим полученные выражения в скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$:
$2(\vec{AB} \cdot \vec{CD}) = 2\vec{b} \cdot \vec{d} - 2\vec{b} \cdot \vec{c} = (AB^2 + AD^2 - BD^2) - (AB^2 + AC^2 - BC^2) = AD^2 + BC^2 - AC^2 - BD^2$.

Теперь можем найти косинус угла:
$\cos \varphi = \frac{\frac{1}{2} |AD^2 + BC^2 - AC^2 - BD^2|}{AB \cdot CD} = \frac{|AD^2 + BC^2 - AC^2 - BD^2|}{2 \cdot AB \cdot CD}$.

Ответ: $\frac{|AD^2 + BC^2 - AC^2 - BD^2|}{2 \cdot AB \cdot CD}$.

б) расстояние от вершины D до точки пересечения медиан треугольника ABC.

Пусть $M$ - точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$. Требуется найти длину отрезка $DM$. Воспользуемся векторным методом.

Выберем вершину $D$ в качестве начала системы координат. Тогда положение вершин $A$, $B$, $C$ задается радиус-векторами $\vec{DA}$, $\vec{DB}$, $\vec{DC}$.

Радиус-вектор центроида $M$ треугольника $ABC$ равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин:
$\vec{DM} = \frac{\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}}{3}$.

Длина отрезка $DM$ равна модулю вектора $\vec{DM}$. Найдем квадрат длины:
$DM^2 = |\vec{DM}|^2 = \left| \frac{\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}}{3} \right|^2 = \frac{1}{9} |\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}|^2$.

Раскроем квадрат модуля суммы векторов:
$|\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}|^2 = |\vec{DA}|^2 + |\vec{DB}|^2 + |\vec{DC}|^2 + 2(\vec{DA} \cdot \vec{DB}) + 2(\vec{DA} \cdot \vec{DC}) + 2(\vec{DB} \cdot \vec{DC})$.

Квадраты модулей векторов - это квадраты длин соответствующих ребер: $|\vec{DA}|^2 = DA^2$, $|\vec{DB}|^2 = DB^2$, $|\vec{DC}|^2 = DC^2$.
Скалярные произведения выразим через длины ребер по теореме косинусов для граней, сходящихся в вершине D:
Из $\triangle DAB$: $AB^2 = |\vec{DB} - \vec{DA}|^2 = DA^2 + DB^2 - 2(\vec{DA} \cdot \vec{DB})$, откуда $2(\vec{DA} \cdot \vec{DB}) = DA^2 + DB^2 - AB^2$.
Из $\triangle DAC$: $AC^2 = |\vec{DC} - \vec{DA}|^2 = DA^2 + DC^2 - 2(\vec{DA} \cdot \vec{DC})$, откуда $2(\vec{DA} \cdot \vec{DC}) = DA^2 + DC^2 - AC^2$.
Из $\triangle DBC$: $BC^2 = |\vec{DC} - \vec{DB}|^2 = DB^2 + DC^2 - 2(\vec{DB} \cdot \vec{DC})$, откуда $2(\vec{DB} \cdot \vec{DC}) = DB^2 + DC^2 - BC^2$.

Подставим эти выражения в формулу для квадрата модуля суммы векторов:
$|\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}|^2 = (DA^2 + DB^2 + DC^2) + (DA^2 + DB^2 - AB^2) + (DA^2 + DC^2 - AC^2) + (DB^2 + DC^2 - BC^2)$.

Сгруппируем слагаемые:
$|\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}|^2 = 3(DA^2 + DB^2 + DC^2) - (AB^2 + AC^2 + BC^2)$.

Теперь найдем $DM^2$:
$DM^2 = \frac{1}{9}[3(DA^2 + DB^2 + DC^2) - (AB^2 + AC^2 + BC^2)]$.

Искомое расстояние $DM$ равно квадратному корню из этого выражения:
$DM = \sqrt{\frac{1}{9}[3(DA^2 + DB^2 + DC^2) - (AB^2 + AC^2 + BC^2)]} = \frac{1}{3}\sqrt{3(DA^2 + DB^2 + DC^2) - (AB^2 + AC^2 + BC^2)}$.

Ответ: $\frac{1}{3}\sqrt{3(DA^2 + DB^2 + DC^2) - (AB^2 + AC^2 + BC^2)}$.