Номер 146, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

146. Точки $A$, $B$, $C$, $D$ пространства таковы, что $AB = BC$ и $CD = DA$. Можно ли утверждать, что прямые $AC$ и $BD$ перпендикулярны?

Да, можно утверждать, что прямые $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Приведем доказательство этого факта.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$.

По условию задачи дано, что $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

Также по условию $CD = DA$. Это означает, что треугольник $ADC$ также является равнобедренным с основанием $AC$.

Пусть точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Проведем отрезки $BM$ и $DM$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ отрезок $BM$ является медианой, проведенной к основанию. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BM$ перпендикулярна $AC$, то есть $BM \perp AC$.

Аналогично, в равнобедренном треугольнике $ADC$ отрезок $DM$ является медианой, проведенной к основанию. Следовательно, $DM$ также является высотой, и $DM \perp AC$.

Теперь мы имеем, что прямая $AC$ перпендикулярна двум прямым: $BM$ и $DM$.

Рассмотрим два случая:

1. Точки $B$, $D$ и $M$ не лежат на одной прямой. В этом случае прямые $BM$ и $DM$ пересекаются в точке $M$ и задают плоскость $BDM$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая ($AC$) перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BM$ и $DM$) в плоскости ($BDM$), то она перпендикулярна всей этой плоскости. Таким образом, $AC \perp (BDM)$.

Поскольку прямая $BD$ лежит в плоскости $BDM$, то по определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая прямую $BD$. Следовательно, $AC \perp BD$.

2. Точки $B$, $D$ и $M$ лежат на одной прямой. В этом случае прямая $BD$ совпадает с прямой $BM$ (и $DM$). Так как мы уже установили, что $BM \perp AC$, то отсюда следует, что и $BD \perp AC$.

В обоих случаях мы приходим к выводу, что прямые $AC$ и $BD$ перпендикулярны.

Ответ: Да, можно утверждать, что прямые $AC$ и $BD$ перпендикулярны.