Номер 161, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

161. Имеются три попарно скрещивающиеся прямые, расстояние между каждыми двумя из которых равно $a$. Найдите площадь параллелограмма, у которого две вершины находятся на одной из данных прямых, а две другие — на двух остальных прямых.

Пусть данные три попарно скрещивающиеся прямые – это $l_1$, $l_2$ и $l_3$. Пусть $A, B, C, D$ – вершины параллелограмма. Согласно условию, две вершины лежат на одной прямой, а две другие – на двух остальных. Без ограничения общности, пусть вершины $A$ и $B$ лежат на прямой $l_1$, вершина $C$ – на прямой $l_2$, а вершина $D$ – на прямой $l_3$.

Поскольку $A, B, C, D$ – вершины параллелограмма, то вектор $\vec{AB}$ должен быть равен вектору $\vec{DC}$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на прямой $l_1$, то вектор $\vec{AB}$ параллелен прямой $l_1$. Следовательно, вектор $\vec{DC}$ также должен быть параллелен прямой $l_1$.

Таким образом, сторона $DC$ параллелограмма представляет собой отрезок, концы которого лежат на прямых $l_2$ и $l_3$, и который параллелен прямой $l_1$. Поскольку прямые $l_1, l_2, l_3$ попарно скрещиваются, их направляющие векторы $\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}$ не компланарны (линейно независимы). В этом случае существует единственная прямая, параллельная $l_1$, которая пересекает $l_2$ и $l_3$. Это означает, что точки $C$ на $l_2$ и $D$ на $l_3$ определены однозначно. Следовательно, вектор $\vec{u} = \vec{DC}$ является вполне определенным вектором, зависящим только от геометрии прямых.

Сторона $AB$ параллелограмма должна удовлетворять условию $\vec{AB} = \vec{u}$. Точки $A$ и $B$ могут занимать любое положение на прямой $l_1$, удовлетворяющее этому условию.

Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить по формуле $S = |\vec{AB} \times \vec{AD}|$. Подставим $\vec{AB} = \vec{u}$: $S = |\vec{u} \times \vec{AD}|$. Пусть $A_0$ – некоторая фиксированная точка на прямой $l_1$. Тогда любую другую точку $A$ на $l_1$ можно представить как $\vec{A} = \vec{A_0} + t\vec{e_1}$ для некоторого скаляра $t$. Вектор $\vec{AD}$ равен $\vec{D} - \vec{A} = \vec{D} - (\vec{A_0} + t\vec{e_1}) = (\vec{D} - \vec{A_0}) - t\vec{e_1} = \vec{A_0D} - t\vec{e_1}$. Тогда $S = |\vec{u} \times (\vec{A_0D} - t\vec{e_1})| = |\vec{u} \times \vec{A_0D} - t(\vec{u} \times \vec{e_1})|$. Поскольку вектор $\vec{u}$ параллелен прямой $l_1$ (с направляющим вектором $\vec{e_1}$), их векторное произведение равно нулю: $\vec{u} \times \vec{e_1} = \vec{0}$. Следовательно, $S = |\vec{u} \times \vec{A_0D}|$. Это означает, что площадь параллелограмма не зависит от выбора положения стороны $AB$ на прямой $l_1$ и является величиной постоянной.

Поскольку площадь не зависит от конкретного расположения прямых (лишь бы они удовлетворяли условию), мы можем для её вычисления выбрать удобную систему координат. Условие равенства попарных расстояний $a$ предполагает высокую симметрию. Разместим три взаимно перпендикулярные прямые так, чтобы они удовлетворяли условию.

Введем прямоугольную систему координат. Пусть прямые $l_1, l_2, l_3$ параллельны осям $Ox, Oy, Oz$ соответственно. Выберем их расположение следующим образом:

• $l_1$: прямая, заданная уравнениями $y=0, z=a$. Она параллельна оси $Ox$. Параметрическое уравнение: $\vec{r}(t) = (t, 0, a)$.
• $l_2$: прямая, заданная уравнениями $z=0, x=a$. Она параллельна оси $Oy$. Параметрическое уравнение: $\vec{r}(u) = (a, u, 0)$.
• $l_3$: прямая, заданная уравнениями $x=0, y=a$. Она параллельна оси $Oz$. Параметрическое уравнение: $\vec{r}(v) = (0, a, v)$.

Проверим, что расстояние между любыми двумя из этих прямых равно $a$.

• Расстояние между $l_1$ и $l_2$: Кратчайшее расстояние будет вдоль их общего перпендикуляра. Для точки $(t, 0, a)$ на $l_1$ и $(a, u, 0)$ на $l_2$ квадрат расстояния равен $d^2 = (t-a)^2 + (0-u)^2 + (a-0)^2$. Минимум достигается при $t=a, u=0$, и $d^2 = a^2$, то есть $d=a$.
• Расстояние между $l_2$ и $l_3$: Для точки $(a, u, 0)$ на $l_2$ и $(0, a, v)$ на $l_3$ квадрат расстояния равен $d^2 = (a-0)^2 + (u-a)^2 + (0-v)^2$. Минимум достигается при $u=a, v=0$, и $d^2 = a^2$, то есть $d=a$.
• Расстояние между $l_3$ и $l_1$: Для точки $(0, a, v)$ на $l_3$ и $(t, 0, a)$ на $l_1$ квадрат расстояния равен $d^2 = (0-t)^2 + (a-0)^2 + (v-a)^2$. Минимум достигается при $t=0, v=a$, и $d^2 = a^2$, то есть $d=a$.

Данная конфигурация удовлетворяет условиям задачи. Теперь найдем площадь параллелограмма. Вершина $C$ лежит на $l_2$, её координаты $(a, u_C, 0)$. Вершина $D$ лежит на $l_3$, её координаты $(0, a, v_D)$. Вектор $\vec{DC} = (a-0, u_C-a, 0-v_D) = (a, u_C-a, -v_D)$. Этот вектор должен быть параллелен прямой $l_1$, направляющий вектор которой $\vec{e_1}=(1, 0, 0)$. Параллельность означает, что y- и z-компоненты вектора $\vec{DC}$ равны нулю:$u_C-a = 0 \Rightarrow u_C = a$.$-v_D = 0 \Rightarrow v_D = 0$. Таким образом, точки $C$ и $D$ однозначно определены: $C=(a, a, 0)$ и $D=(0, a, 0)$.

Вектор стороны $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$:$\vec{AB} = \vec{DC} = (a, 0, 0)$.

Теперь найдем вектор стороны $\vec{AD}$. Точка $A$ – произвольная точка на прямой $l_1$, её координаты $(t, 0, a)$. Точка $D$ имеет координаты $(0, a, 0)$.$\vec{AD} = (0-t, a-0, 0-a) = (-t, a, -a)$.

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:$S = |\vec{AB} \times \vec{AD}| = |(a, 0, 0) \times (-t, a, -a)|$. Вычислим векторное произведение:$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & 0 \\ -t & a & -a \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot (-a) - 0 \cdot a) - \vec{j}(a \cdot (-a) - 0 \cdot (-t)) + \vec{k}(a \cdot a - 0 \cdot (-t)) = 0\vec{i} + a^2\vec{j} + a^2\vec{k} = (0, a^2, a^2)$.

Модуль этого вектора равен:$S = \sqrt{0^2 + (a^2)^2 + (a^2)^2} = \sqrt{a^4 + a^4} = \sqrt{2a^4} = a^2\sqrt{2}$.

Ответ: $a^2\sqrt{2}$