Номер 224, страница 36 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

224. Куб стоит на плоскости $XOY$. Учитывая, что три вершины куба имеют координаты $(5; 4; 0)$, $(1; 1; 0)$, $(-2; 5; 0)$, найдите:

а) длину ребра куба;

б) координаты вершин куба;

в) координаты центров граней куба.

а) длину ребра куба;

Обозначим данные вершины как $A(5; 4; 0)$, $B(1; 1; 0)$ и $C(-2; 5; 0)$. Поскольку куб стоит на плоскости XOY, а у всех трех точек координата $z = 0$, эти три вершины лежат на одной грани куба (на его основании). Найдем квадраты расстояний между этими точками, чтобы определить, какие из них являются смежными, а какие — противоположными вершинами грани.
$AB^2 = (1-5)^2 + (1-4)^2 + (0-0)^2 = (-4)^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$.
$BC^2 = (-2-1)^2 + (5-1)^2 + (0-0)^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
$AC^2 = (-2-5)^2 + (5-4)^2 + (0-0)^2 = (-7)^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50$.
Мы видим, что $AB^2 = BC^2 = 25$ и $AC^2 = 50$. Так как $AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 = AC^2$, то по теореме Пифагора треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом в вершине $B$. Вершины $A$ и $B$, а также $B$ и $C$ являются смежными. Длина ребра куба, обозначим ее $a$, равна длине этих сторон: $a = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5

б) координаты вершин куба;

Мы уже знаем три вершины основания: $A(5; 4; 0)$, $B(1; 1; 0)$, $C(-2; 5; 0)$. Найдем четвертую вершину основания $D$. Так как $ABCD$ — квадрат, то вектор $\vec{AD}$ должен быть равен вектору $\vec{BC}$.
$\vec{BC} = C - B = (-2-1; 5-1; 0-0) = (-3; 4; 0)$.
Координаты точки $D$ находятся как $D = A + \vec{BC} = (5; 4; 0) + (-3; 4; 0) = (5-3; 4+4; 0+0) = (2; 8; 0)$.
Таким образом, вершины основания куба: $A(5; 4; 0)$, $B(1; 1; 0)$, $C(-2; 5; 0)$, $D(2; 8; 0)$.
Поскольку куб стоит на плоскости XOY, вторая грань (верхняя) параллельна основанию и находится на высоте, равной длине ребра, то есть на высоте $a=5$. Координаты вершин верхней грани ($A'$, $B'$, $C'$, $D'$) получаются прибавлением 5 к z-координатам вершин основания.
$A'(5; 4; 5)$
$B'(1; 1; 5)$
$C'(-2; 5; 5)$
$D'(2; 8; 5)$
Ответ: Координаты восьми вершин куба: $(5; 4; 0)$, $(1; 1; 0)$, $(-2; 5; 0)$, $(2; 8; 0)$, $(5; 4; 5)$, $(1; 1; 5)$, $(-2; 5; 5)$, $(2; 8; 5)$.

в) координаты центров граней куба.

Центр грани является серединой ее диагоналей. Всего у куба 6 граней.
1. Центр нижней грани $ABCD$ (середина диагонали $AC$):
$M_1 = \left(\frac{5+(-2)}{2}; \frac{4+5}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}; \frac{9}{2}; 0\right) = (1.5; 4.5; 0)$.
2. Центр верхней грани $A'B'C'D'$ (середина диагонали $A'C'$):
$M_2 = \left(\frac{5+(-2)}{2}; \frac{4+5}{2}; \frac{5+5}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}; \frac{9}{2}; 5\right) = (1.5; 4.5; 5)$.
3. Центр грани $ABB'A'$ (середина диагонали $AB'$):
$M_3 = \left(\frac{5+1}{2}; \frac{4+1}{2}; \frac{0+5}{2}\right) = \left(3; \frac{5}{2}; \frac{5}{2}\right) = (3; 2.5; 2.5)$.
4. Центр грани $BCC'B'$ (середина диагонали $BC'$):
$M_4 = \left(\frac{1+(-2)}{2}; \frac{1+5}{2}; \frac{0+5}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}; 3; \frac{5}{2}\right) = (-0.5; 3; 2.5)$.
5. Центр грани $CDD'C'$ (середина диагонали $CD'$):
$M_5 = \left(\frac{-2+2}{2}; \frac{5+8}{2}; \frac{0+5}{2}\right) = \left(0; \frac{13}{2}; \frac{5}{2}\right) = (0; 6.5; 2.5)$.
6. Центр грани $ADD'A'$ (середина диагонали $AD'$):
$M_6 = \left(\frac{5+2}{2}; \frac{4+8}{2}; \frac{0+5}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}; 6; \frac{5}{2}\right) = (3.5; 6; 2.5)$.
Ответ: Координаты центров граней: $(1.5; 4.5; 0)$, $(1.5; 4.5; 5)$, $(3; 2.5; 2.5)$, $(-0.5; 3; 2.5)$, $(0; 6.5; 2.5)$, $(3.5; 6; 2.5)$.