Номер 24, страница 7 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

24. Точки $A, B, C, D, M, N, K, L$ не лежат в одной плоскости, точка $F$ принадлежит прямой $BC$. Укажите:

а) плоскости, которым принадлежит точка $F$; точка $C$;

б) плоскости, которым принадлежит прямая $CD$;

в) прямую, по которой пересекаются плоскости $ABC$ и $ACD$;

г) линию пересечения плоскостей $ABD$ и $ACF$.

а) Найдём плоскости, которым принадлежат точки $F$ и $C$.
По условию, точка $F$ принадлежит прямой $BC$, то есть $F \in BC$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
Плоскость $(ABC)$ проходит через точки $B$ и $C$, следовательно, она содержит всю прямую $BC$. Так как $F \in BC$, то точка $F$ принадлежит плоскости $(ABC)$.
Аналогично, плоскость $(BCD)$ проходит через точки $B$ и $C$, следовательно, она содержит всю прямую $BC$. Так как $F \in BC$, то точка $F$ принадлежит плоскости $(BCD)$.
Точка $C$ является одной из вершин, определяющих плоскости. Следовательно, точка $C$ принадлежит всем плоскостям, в названии которых она указана: $(ABC)$, $(ACD)$ и $(BCD)$.
Ответ: точка $F$ принадлежит плоскостям $(ABC)$ и $(BCD)$; точка $C$ принадлежит плоскостям $(ABC)$, $(ACD)$ и $(BCD).

б) Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости. Прямая $CD$ определяется точками $C$ и $D$.
Плоскость $(ACD)$ содержит точки $C$ и $D$, следовательно, она содержит прямую $CD$.
Плоскость $(BCD)$ содержит точки $C$ и $D$, следовательно, она содержит прямую $CD$.
Ответ: прямая $CD$ принадлежит плоскостям $(ACD)$ и $(BCD)$.

в) Чтобы найти прямую пересечения двух плоскостей, нужно найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Рассмотрим плоскости $(ABC)$ и $(ACD)$.
Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям по их определению.
Точка $C$ также принадлежит обеим плоскостям по их определению.
Следовательно, обе плоскости проходят через точки $A$ и $C$, а значит, они пересекаются по прямой $AC$.
Ответ: прямая $AC$.

г) Найдём линию пересечения плоскостей $(ABD)$ и $(ACF)$.
Сначала определим плоскость $(ACF)$. Она задана тремя точками: $A$, $C$ и $F$. По условию, точка $F$ лежит на прямой $BC$. Это означает, что прямая $BC$ (которая проходит через точки $C$ и $F$) целиком лежит в плоскости $(ACF)$. Так как прямая $BC$ лежит в плоскости $(ACF)$, то и точка $B$, принадлежащая этой прямой, также лежит в плоскости $(ACF)$. Таким образом, плоскость $(ACF)$ содержит точки $A$, $B$ и $C$, то есть плоскость $(ACF)$ и плоскость $(ABC)$ совпадают.
Задача сводится к нахождению линии пересечения плоскостей $(ABD)$ и $(ABC)$.
Найдём их общие точки:
Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям.
Точка $B$ принадлежит обеим плоскостям.
Следовательно, плоскости $(ABD)$ и $(ABC)$ пересекаются по прямой, проходящей через точки $A$ и $B$.
Ответ: прямая $AB$.