Номер 267, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

267. Упростите выражение:

а) $(\vec{a}-\vec{b})^2 - \vec{a}(\vec{a}-2\vec{b});$

б) $(\vec{a}+3\vec{b})^2 - 3\vec{a}(\vec{a}+2\vec{b});$

в) $3(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b}) - (\vec{a}+2\vec{b})(\vec{a}-2\vec{b});$

г) $\vec{a}(2\vec{a}-6\vec{b}) + (2\vec{a}+\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b}) + (\vec{a}+3\vec{b})^2.$

Для упрощения данных выражений мы будем использовать свойства скалярного произведения векторов и формулы сокращенного умножения, которые применимы и для векторов:

• $(\vec{x})^2 = \vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$
• $\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$
• $\vec{x} \cdot (\vec{y} + \vec{z}) = \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{x} \cdot \vec{z}$
• $(\vec{x} + \vec{y})^2 = \vec{x}^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + \vec{y}^2$
• $(\vec{x} - \vec{y})^2 = \vec{x}^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + \vec{y}^2$
• $(\vec{x} - \vec{y})(\vec{x} + \vec{y}) = \vec{x}^2 - \vec{y}^2$

Далее в решениях скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ для краткости будет обозначаться как $\vec{a}\vec{b}$.

а) $(\vec{a} - \vec{b})^2 - \vec{a}(\vec{a} - 2\vec{b})$

1. Раскроем квадрат разности векторов $(\vec{a} - \vec{b})^2$:

$(\vec{a} - \vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2$

2. Раскроем скобки во втором слагаемом, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения:

$\vec{a}(\vec{a} - 2\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot (2\vec{b}) = \vec{a}^2 - 2\vec{a}\vec{b}$

3. Подставим полученные выражения в исходное:

$(\vec{a}^2 - 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2) - (\vec{a}^2 - 2\vec{a}\vec{b})$

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{a}^2 - 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2 - \vec{a}^2 + 2\vec{a}\vec{b} = (\vec{a}^2 - \vec{a}^2) + (-2\vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{b}) + \vec{b}^2 = \vec{b}^2$

Ответ: $\vec{b}^2$

б) $(\vec{a} + 3\vec{b})^2 - 3\vec{a}(\vec{a} + 2\vec{b})$

1. Раскроем квадрат суммы $(\vec{a} + 3\vec{b})^2$:

$(\vec{a} + 3\vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2(\vec{a} \cdot 3\vec{b}) + (3\vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 6\vec{a}\vec{b} + 9\vec{b}^2$

2. Раскроем скобки во втором слагаемом:

$3\vec{a}(\vec{a} + 2\vec{b}) = 3(\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot 2\vec{b}) = 3(\vec{a}^2 + 2\vec{a}\vec{b}) = 3\vec{a}^2 + 6\vec{a}\vec{b}$

3. Подставим полученные выражения в исходное:

$(\vec{a}^2 + 6\vec{a}\vec{b} + 9\vec{b}^2) - (3\vec{a}^2 + 6\vec{a}\vec{b})$

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{a}^2 + 6\vec{a}\vec{b} + 9\vec{b}^2 - 3\vec{a}^2 - 6\vec{a}\vec{b} = (\vec{a}^2 - 3\vec{a}^2) + (6\vec{a}\vec{b} - 6\vec{a}\vec{b}) + 9\vec{b}^2 = -2\vec{a}^2 + 9\vec{b}^2$

Ответ: $9\vec{b}^2 - 2\vec{a}^2$

в) $3(\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b}) - (\vec{a} + 2\vec{b})(\vec{a} - 2\vec{b})$

1. Упростим первое слагаемое, используя формулу разности квадратов:

$3(\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b}) = 3(\vec{a}^2 - \vec{b}^2) = 3\vec{a}^2 - 3\vec{b}^2$

2. Упростим второе слагаемое по той же формуле:

$(\vec{a} + 2\vec{b})(\vec{a} - 2\vec{b}) = \vec{a}^2 - (2\vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 4\vec{b}^2$

3. Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(3\vec{a}^2 - 3\vec{b}^2) - (\vec{a}^2 - 4\vec{b}^2)$

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3\vec{a}^2 - 3\vec{b}^2 - \vec{a}^2 + 4\vec{b}^2 = (3\vec{a}^2 - \vec{a}^2) + (-3\vec{b}^2 + 4\vec{b}^2) = 2\vec{a}^2 + \vec{b}^2$

Ответ: $2\vec{a}^2 + \vec{b}^2$

г) $\vec{a}(2\vec{a} - 6\vec{b}) + (2\vec{a} + \vec{b})(2\vec{a} - \vec{b}) + (\vec{a} + 3\vec{b})^2$

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

1. Первое слагаемое:

$\vec{a}(2\vec{a} - 6\vec{b}) = 2\vec{a}^2 - 6\vec{a}\vec{b}$

2. Второе слагаемое (разность квадратов):

$(2\vec{a} + \vec{b})(2\vec{a} - \vec{b}) = (2\vec{a})^2 - \vec{b}^2 = 4\vec{a}^2 - \vec{b}^2$

3. Третье слагаемое (квадрат суммы):

$(\vec{a} + 3\vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2(\vec{a} \cdot 3\vec{b}) + (3\vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 6\vec{a}\vec{b} + 9\vec{b}^2$

4. Сложим все полученные выражения:

$(2\vec{a}^2 - 6\vec{a}\vec{b}) + (4\vec{a}^2 - \vec{b}^2) + (\vec{a}^2 + 6\vec{a}\vec{b} + 9\vec{b}^2)$

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2\vec{a}^2 + 4\vec{a}^2 + \vec{a}^2) + (-6\vec{a}\vec{b} + 6\vec{a}\vec{b}) + (-\vec{b}^2 + 9\vec{b}^2) = 7\vec{a}^2 + 0 + 8\vec{b}^2 = 7\vec{a}^2 + 8\vec{b}^2$

Ответ: $7\vec{a}^2 + 8\vec{b}^2$