Номер 285, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

285. Докажите, что:

а) отрезки, соединяющие середины противоположных ребер треугольной пирамиды, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам (рис. 102);

б) отрезки, соединяющие вершины треугольной пирамиды с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3 : 1, считая от вершины;

Рис. 102

в) середина отрезка, соединяющего середины противоположных ребер треугольной пирамиды, находится на отрезках, соединяющих вершины пирамиды с точками пересечения медиан противоположных граней.

а) Докажем утверждение с помощью векторов. Пусть вершины треугольной пирамиды $SABC$ заданы радиус-векторами $\vec{s}, \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ относительно произвольного начала координат.

Пары противоположных ребер пирамиды: $(SA, BC)$, $(SB, AC)$ и $(SC, AB)$. Найдем середины этих ребер.

• Пусть $P$ — середина ребра $SA$, ее радиус-вектор $\vec{p} = \frac{\vec{s} + \vec{a}}{2}$.
• Пусть $L$ — середина ребра $BC$, ее радиус-вектор $\vec{l} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$.
• Пусть $Q$ — середина ребра $SB$, ее радиус-вектор $\vec{q} = \frac{\vec{s} + \vec{b}}{2}$.
• Пусть $M$ — середина ребра $AC$, ее радиус-вектор $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$.
• Пусть $R$ — середина ребра $SC$, ее радиус-вектор $\vec{r} = \frac{\vec{s} + \vec{c}}{2}$.
• Пусть $K$ — середина ребра $AB$, ее радиус-вектор $\vec{k} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$.

Отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, — это $PL, QM, RK$. Найдем радиус-векторы середин этих отрезков.

Середина отрезка $PL$ имеет радиус-вектор:
$\vec{o}_{PL} = \frac{\vec{p} + \vec{l}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{s} + \vec{a}}{2} + \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} \right) = \frac{\vec{s} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$

Середина отрезка $QM$ имеет радиус-вектор:
$\vec{o}_{QM} = \frac{\vec{q} + \vec{m}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{s} + \vec{b}}{2} + \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} \right) = \frac{\vec{s} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{c}}{4}$

Середина отрезка $RK$ имеет радиус-вектор:
$\vec{o}_{RK} = \frac{\vec{r} + \vec{k}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{s} + \vec{c}}{2} + \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \right) = \frac{\vec{s} + \vec{c} + \vec{a} + \vec{b}}{4}$

Поскольку $\vec{o}_{PL} = \vec{o}_{QM} = \vec{o}_{RK}$, все три отрезка имеют общую середину. Это означает, что они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

б) Отрезки, соединяющие вершины пирамиды с точками пересечения медиан (центроидами) противоположных граней, называются медианами пирамиды. Пусть вершины пирамиды $SABC$ заданы радиус-векторами $\vec{s}, \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

Найдем радиус-векторы центроидов граней:

• $M_1$ — центроид грани $ABC$, $\vec{m}_1 = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$.
• $M_2$ — центроид грани $SBC$, $\vec{m}_2 = \frac{\vec{s} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$.
• $M_3$ — центроид грани $SAC$, $\vec{m}_3 = \frac{\vec{s} + \vec{a} + \vec{c}}{3}$.
• $M_4$ — центроид грани $SAB$, $\vec{m}_4 = \frac{\vec{s} + \vec{a} + \vec{b}}{3}$.

Рассмотрим медианы пирамиды: $SM_1, AM_2, BM_3, CM_4$. Найдем точку, которая делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины.
Для медианы $SM_1$, радиус-вектор точки $O_S$, делящей ее в отношении $SO_S : O_SM_1 = 3 : 1$:
$\vec{o}_S = \frac{1 \cdot \vec{s} + 3 \cdot \vec{m}_1}{1+3} = \frac{\vec{s} + 3 \left( \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \right)}{4} = \frac{\vec{s} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$

Для медианы $AM_2$, радиус-вектор точки $O_A$, делящей ее в отношении $AO_A : O_AM_2 = 3 : 1$:
$\vec{o}_A = \frac{1 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{m}_2}{1+3} = \frac{\vec{a} + 3 \left( \frac{\vec{s} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \right)}{4} = \frac{\vec{a} + \vec{s} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$

Аналогично для медиан $BM_3$ и $CM_4$ получим:
$\vec{o}_B = \frac{1 \cdot \vec{b} + 3 \cdot \vec{m}_3}{4} = \frac{\vec{b} + \vec{s} + \vec{a} + \vec{c}}{4}$
$\vec{o}_C = \frac{1 \cdot \vec{c} + 3 \cdot \vec{m}_4}{4} = \frac{\vec{c} + \vec{s} + \vec{a} + \vec{b}}{4}$

Поскольку $\vec{o}_S = \vec{o}_A = \vec{o}_B = \vec{o}_C$, все четыре медианы пересекаются в одной и той же точке. По построению, эта точка делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

в) Утверждение гласит, что середина отрезка, соединяющего середины противоположных ребер, находится на отрезках, соединяющих вершины пирамиды с точками пересечения медиан противоположных граней.

Пусть $O_a$ — точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных ребер. Из пункта (а) мы знаем, что эта точка является общей серединой этих отрезков, и ее радиус-вектор равен:
$\vec{o}_a = \frac{\vec{s} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$

Пусть $O_b$ — точка пересечения медиан пирамиды (отрезков, соединяющих вершины с центроидами противоположных граней). Из пункта (б) мы знаем, что радиус-вектор этой точки равен:
$\vec{o}_b = \frac{\vec{s} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$

Так как $\vec{o}_a = \vec{o}_b$, то точки $O_a$ и $O_b$ совпадают. Это означает, что точка $O_a$ (середина отрезка, соединяющего середины противоположных ребер) является той же самой точкой, что и $O_b$ (точка пересечения медиан пирамиды). Следовательно, точка $O_a$ лежит на каждой из медиан пирамиды. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано.