Номер 316, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

316. Ребра основания прямой треугольной призмы равны 10 см, 17 см и 21 см, а боковое ребро — 34 см. Найдите площади сечений, которые проходят через боковые ребра перпендикулярно противоположным ребрам основания.

В основании прямой треугольной призмы лежит треугольник со сторонами $a = 10$ см, $b = 17$ см и $c = 21$ см. Высота призмы равна ее боковому ребру, $H = 34$ см.

Сечения, о которых идет речь в задаче, проходят через боковые ребра и перпендикулярны противоположным им ребрам основания. Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, каждое такое сечение представляет собой прямоугольник. Одна сторона каждого прямоугольника — это боковое ребро призмы (ее высота $H$), а другая — высота треугольника в основании, проведенная к соответствующей стороне.

Для нахождения площадей сечений нам необходимо вычислить высоты треугольника в основании. Сначала найдем площадь этого треугольника по формуле Герона.

1. Нахождение площади треугольника в основании ($S_{осн}$)

Полупериметр $p$ треугольника равен:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+17+21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Площадь треугольника:$S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{(3 \cdot 8) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 16 \cdot 7^2} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$ см².

2. Нахождение высот треугольника в основании

Используя формулу площади треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$, найдем высоты, проведенные к каждой из сторон:

• Высота $h_a$ к стороне $a = 10$ см: $h_a = \frac{2S_{осн}}{a} = \frac{2 \cdot 84}{10} = \frac{168}{10} = 16.8$ см.
• Высота $h_b$ к стороне $b = 17$ см: $h_b = \frac{2S_{осн}}{b} = \frac{2 \cdot 84}{17} = \frac{168}{17}$ см.
• Высота $h_c$ к стороне $c = 21$ см: $h_c = \frac{2S_{осн}}{c} = \frac{2 \cdot 84}{21} = 2 \cdot 4 = 8$ см.

3. Нахождение площадей сечений

Теперь мы можем вычислить площади трех прямоугольных сечений, умножая соответствующую высоту треугольника основания на высоту призмы $H = 34$ см.

Площадь сечения, перпендикулярного ребру основания длиной 10 см

Площадь этого сечения $S_1$ равна произведению высоты призмы $H$ на высоту треугольника $h_a$:$S_1 = H \cdot h_a = 34 \cdot 16.8 = 571.2$ см².

Ответ: $571.2$ см².

Площадь сечения, перпендикулярного ребру основания длиной 17 см

Площадь этого сечения $S_2$ равна произведению высоты призмы $H$ на высоту треугольника $h_b$:$S_2 = H \cdot h_b = 34 \cdot \frac{168}{17} = 2 \cdot 168 = 336$ см².

Ответ: $336$ см².

Площадь сечения, перпендикулярного ребру основания длиной 21 см

Площадь этого сечения $S_3$ равна произведению высоты призмы $H$ на высоту треугольника $h_c$:$S_3 = H \cdot h_c = 34 \cdot 8 = 272$ см².

Ответ: $272$ см².