Номер 362, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

362. В основании прямой призмы лежит равносторонний треугольник. Плоскость, проходящая через одну из сторон нижнего основания и противоположную вершину верхнего, пересекает плоскость нижнего основания под углом $\phi$. Площадь полученного сечения равна $Q$. Найдите объем призмы.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит равносторонний треугольник $ABC$. Обозначим сторону основания за $a$, а высоту призмы за $H$. Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$.

Плоскость сечения проходит через сторону нижнего основания, например $AB$, и противоположную вершину верхнего основания $C_1$. Сечением является треугольник $ABC_1$. По условию, площадь этого сечения равна $Q$, то есть $S_{\triangle ABC_1} = Q$.

Угол между плоскостью сечения $(ABC_1)$ и плоскостью нижнего основания $(ABC)$ равен $\phi$. Треугольник $ABC$ является ортогональной проекцией треугольника $ABC_1$ на плоскость основания. Площадь проекции связана с площадью фигуры через косинус угла между плоскостями:$S_{проекции} = S_{фигуры} \cdot \cos(\phi)$. В нашем случае:$S_{осн} = S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABC_1} \cdot \cos \phi = Q \cos \phi$. Это площадь основания призмы.

Теперь найдем высоту призмы $H$. Угол между плоскостями $(ABC_1)$ и $(ABC)$ — это двугранный угол при ребре $AB$. Для его нахождения проведем в каждой плоскости перпендикуляр к $AB$ из одной точки. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Поскольку $\triangle ABC$ равносторонний, его медиана $CM$ является и высотой, то есть $CM \perp AB$. Рассмотрим сечение $\triangle ABC_1$. Так как призма прямая, ее боковые грани — прямоугольники. Следовательно, $AC = BC$ и $CC_1 \perp AC$, $CC_1 \perp BC$. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников $ACC_1$ и $BCC_1$ получаем $AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2}$ и $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2}$. Так как $AC=BC$, то $AC_1 = BC_1$. Значит, $\triangle ABC_1$ — равнобедренный с основанием $AB$. Его медиана $C_1M$ также является высотой, то есть $C_1M \perp AB$.

Таким образом, угол между плоскостями равен линейному углу $\angle CMC_1 = \phi$. Рассмотрим $\triangle CMC_1$. Так как призма прямая, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости. Следовательно, $CC_1 \perp CM$. Треугольник $CMC_1$ — прямоугольный с катетами $CM$ и $CC_1=H$. Из него получаем:$\tan \phi = \frac{CC_1}{CM} = \frac{H}{CM}$, откуда $H = CM \cdot \tan \phi$.

Выразим высоту основания $CM$ через его площадь $S_{осн}$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ и высотой $h=CM$:$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ и $CM = \frac{a \sqrt{3}}{2}$. Возведем $CM$ в квадрат: $CM^2 = \frac{a^2 \cdot 3}{4}$. Из формулы площади $a^2 = \frac{4 S_{осн}}{\sqrt{3}}$. Подставим $a^2$ в выражение для $CM^2$:$CM^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{4 S_{осн}}{\sqrt{3}} = \frac{3 S_{осн}}{\sqrt{3}} = S_{осн}\sqrt{3}$. Отсюда $CM = \sqrt{S_{осн}\sqrt{3}}$.

Теперь найдем высоту призмы $H$:$H = CM \cdot \tan \phi = \sqrt{S_{осн}\sqrt{3}} \cdot \tan \phi$. Подставим ранее найденное выражение для $S_{осн} = Q \cos \phi$:$H = \sqrt{Q \cos \phi \sqrt{3}} \cdot \tan \phi$.

Наконец, вычислим объем призмы $V = S_{осн} \cdot H$:$V = (Q \cos \phi) \cdot (\sqrt{Q \cos \phi \sqrt{3}} \cdot \tan \phi)$$V = Q \cos \phi \cdot \sqrt{Q} \sqrt{\cos \phi} \sqrt[4]{3} \cdot \frac{\sin \phi}{\cos \phi}$Сократим $\cos \phi$ и сгруппируем множители:$V = Q \sqrt{Q} \cdot \sqrt{\cos \phi} \cdot \sin \phi \cdot \sqrt[4]{3}$$V = Q^{3/2} \sin \phi \sqrt{\cos \phi} \sqrt[4]{3}$.

Ответ: $V = Q\sqrt{Q}\sin\phi\sqrt{\cos\phi}\sqrt[4]{3}$.