Номер 370, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

370. Боковая поверхность треугольной призмы равна $S$, а попарные расстояния между боковыми ребрами — $a, b, c$. Найдите объем призмы.

Объем любой призмы, в том числе и наклонной, можно вычислить по формуле $V = S_{перп} \cdot L$, где $S_{перп}$ — это площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам (так называемое перпендикулярное сечение), а $L$ — длина бокового ребра.

Попарные расстояния между боковыми ребрами призмы по определению являются длинами сторон ее перпендикулярного сечения. Следовательно, перпендикулярное сечение данной треугольной призмы — это треугольник со сторонами $a, b, c$.

Площадь этого треугольника ($S_{перп}$) можно найти по формуле Герона. Для этого сначала вычислим его полупериметр $p$:$p = \frac{a+b+c}{2}$Тогда площадь перпендикулярного сечения будет равна:$S_{перп} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Площадь боковой поверхности призмы $S$ также связана с перпендикулярным сечением. Она равна произведению периметра перпендикулярного сечения $P_{перп}$ на длину бокового ребра $L$:$S = P_{перп} \cdot L$Периметр перпендикулярного сечения — это сумма длин его сторон:$P_{перп} = a+b+c = 2p$Подставив это в формулу для площади боковой поверхности, получаем:$S = (a+b+c) \cdot L = 2p \cdot L$Из этого соотношения мы можем выразить длину бокового ребра $L$:$L = \frac{S}{a+b+c} = \frac{S}{2p}$

Теперь, когда у нас есть выражения для площади перпендикулярного сечения $S_{перп}$ и длины бокового ребра $L$, мы можем найти объем призмы:$V = S_{перп} \cdot L = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \cdot \frac{S}{2p}$

Для более компактной записи можно упростить это выражение, внеся $p$ под знак корня:$V = \frac{S}{2p} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \frac{S}{2} \sqrt{\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p^2}} = \frac{S}{2} \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$

Ответ: $V = \frac{S}{2} \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.