Номер 378, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

378. Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, равны $a, b, c$. Найдите полную поверхность и объем параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $x, y, z$. Три грани, сходящиеся в одной вершине, образованы ребрами $(x, y)$, $(y, z)$ и $(z, x)$. Диагонали этих граней, являющихся прямоугольниками, по условию равны $a, b, c$.

Согласно теореме Пифагора, мы можем составить систему уравнений:

$x^2 + y^2 = a^2$
$y^2 + z^2 = b^2$
$z^2 + x^2 = c^2$

Для решения этой системы сложим все три уравнения:

$(x^2 + y^2) + (y^2 + z^2) + (z^2 + x^2) = a^2 + b^2 + c^2$

$2(x^2 + y^2 + z^2) = a^2 + b^2 + c^2 \implies x^2 + y^2 + z^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}$

Теперь, вычитая из полученного уравнения поочередно каждое из исходных, найдем квадраты измерений:

$x^2 = (x^2 + y^2 + z^2) - (y^2 + z^2) = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2} - b^2 = \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2}$

$y^2 = (x^2 + y^2 + z^2) - (z^2 + x^2) = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2} - c^2 = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}$

$z^2 = (x^2 + y^2 + z^2) - (x^2 + y^2) = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2} - a^2 = \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2}$

Имея выражения для квадратов ребер, мы можем найти полную поверхность и объем параллелепипеда.

Площадь полной поверхности $S$ вычисляется по формуле $S = 2(xy + yz + zx)$.

Найдем произведения $xy$, $yz$ и $zx$:

$xy = \sqrt{x^2 y^2} = \sqrt{\frac{a^2 - b^2 + c^2}{2} \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{(a^2 - b^2 + c^2)(a^2 + b^2 - c^2)}$

$yz = \sqrt{y^2 z^2} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2} \cdot \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{(a^2 + b^2 - c^2)(-a^2 + b^2 + c^2)}$

$zx = \sqrt{z^2 x^2} = \sqrt{\frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2} \cdot \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{(-a^2 + b^2 + c^2)(a^2 - b^2 + c^2)}$

Подставляя эти значения в формулу для площади полной поверхности и умножая на 2, получаем:

$S = \sqrt{(a^2 - b^2 + c^2)(a^2 + b^2 - c^2)} + \sqrt{(a^2 + b^2 - c^2)(-a^2 + b^2 + c^2)} + \sqrt{(-a^2 + b^2 + c^2)(a^2 - b^2 + c^2)}$

Ответ: $S = \sqrt{(a^2 + b^2 - c^2)(a^2 - b^2 + c^2)} + \sqrt{(-a^2 + b^2 + c^2)(a^2 + b^2 - c^2)} + \sqrt{(a^2 - b^2 + c^2)(-a^2 + b^2 + c^2)}$

Объем $V$ вычисляется по формуле $V = xyz$. Для его нахождения извлечем квадратные корни из выражений для $x^2, y^2, z^2$ и перемножим их:

$x = \sqrt{\frac{a^2 - b^2 + c^2}{2}}$, $y = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}}$, $z = \sqrt{\frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2}}$

$V = \sqrt{\frac{a^2 - b^2 + c^2}{2} \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2} \cdot \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2}}$

$V = \frac{\sqrt{(a^2 - b^2 + c^2)(a^2 + b^2 - c^2)(-a^2 + b^2 + c^2)}}{2\sqrt{2}}$

Ответ: $V = \frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{(a^2 + b^2 - c^2)(a^2 - b^2 + c^2)(-a^2 + b^2 + c^2)}$