Номер 460, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

460. Докажите, что три плоскости, проходящие в треугольной пирамиде через медианы граней и противоположные им ребра, пересекаются по одной прямой (рис. 154).

Рис. 154

Пусть дана треугольная пирамида (тетраэдр) $SABC$.

Рассмотрим три плоскости, о которых говорится в условии задачи. Каждая такая плоскость определяется медианой одной из граней и ребром, скрещивающимся со стороной, к которой проведена эта медиана. Можно выбрать медианы любой грани, и результат будет аналогичным. Для определённости выберем медианы грани $ABC$.

Пусть $M_a$, $M_b$ и $M_c$ — середины рёбер $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Тогда $AM_a$, $BM_b$ и $CM_c$ — медианы грани $ABC$.

1. Первая плоскость, $\alpha_1$. Она проходит через медиану $AM_a$ грани $ABC$. Сторона, к которой проведена эта медиана, — $BC$. Ребро, противоположное (скрещивающееся) ребру $BC$, — это ребро $SA$. Следовательно, плоскость $\alpha_1$ проходит через медиану $AM_a$ и ребро $SA$. Такая плоскость однозначно определяется тремя точками $S$, $A$ и $M_a$ и является плоскостью $(SAM_a)$.

2. Вторая плоскость, $\alpha_2$. Она проходит через медиану $BM_b$ грани $ABC$. Сторона, к которой проведена медиана, — $AC$. Противоположное ребро — $SB$. Следовательно, плоскость $\alpha_2$ — это плоскость $(SBM_b)$.

3. Третья плоскость, $\alpha_3$. Она проходит через медиану $CM_c$ грани $ABC$. Сторона, к которой проведена медиана, — $AB$. Противоположное ребро — $SC$. Следовательно, плоскость $\alpha_3$ — это плоскость $(SCM_c)$.

Нам необходимо доказать, что плоскости $(SAM_a)$, $(SBM_b)$ и $(SCM_c)$ пересекаются по одной прямой. Для этого достаточно найти две общие точки, принадлежащие всем трём плоскостям.

Во-первых, по своему определению каждая из этих плоскостей содержит вершину $S$. То есть точка $S$ принадлежит плоскости $(SAM_a)$, плоскости $(SBM_b)$ и плоскости $(SCM_c)$. Таким образом, $S$ — одна из общих точек этих трёх плоскостей.

Во-вторых, рассмотрим точку пересечения медиан треугольника $ABC$. Медианы $AM_a$, $BM_b$ и $CM_c$ треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке — центроиде этого треугольника. Обозначим эту точку буквой $G$.

Поскольку точка $G$ лежит на медиане $AM_a$, а вся прямая $AM_a$ лежит в плоскости $(SAM_a)$, то точка $G$ принадлежит плоскости $(SAM_a)$.

Аналогично, поскольку точка $G$ лежит на медиане $BM_b$, она принадлежит плоскости $(SBM_b)$.

И поскольку точка $G$ лежит на медиане $CM_c$, она принадлежит плоскости $(SCM_c)$.

Следовательно, точка $G$ является общей точкой для всех трёх плоскостей.

Мы нашли две различные точки, $S$ и $G$, которые одновременно принадлежат трём плоскостям $(SAM_a)$, $(SBM_b)$ и $(SCM_c)$. (Точки $S$ и $G$ различны, так как $S$ — вершина пирамиды, а $G$ — точка в плоскости основания, не совпадающая с вершинами). Две различные точки в пространстве однозначно определяют прямую. В данном случае это прямая $SG$.

Таким образом, все три плоскости пересекаются по прямой $SG$, которая соединяет вершину пирамиды $S$ с центроидом противолежащей грани $ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Три указанные плоскости пересекаются по одной прямой, проходящей через вершину пирамиды и центроид противоположной ей грани.