Номер 559, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

559. Образующая и радиус одного из оснований усеченного конуса равны $a$. Найдите полную поверхность конуса, учитывая, что образующая наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$ (рис. 186).

Рис. 186

Площадь полной поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{нижн} + S_{верхн} = \pi(R+r)l + \pi R^2 + \pi r^2$

где $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований соответственно, а $l$ — длина образующей.

По условию задачи, образующая $l = a$, а радиус одного из оснований также равен $a$. Образующая наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Это означает, что в осевом сечении (равнобокой трапеции) угол при большем основании равен $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей (гипотенуза), высотой усеченного конуса и разностью радиусов оснований (катеты). Катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен разности радиусов $R-r$. Таким образом, справедливо соотношение:

$R - r = l \cos\alpha$

Так как $l=a$, то $R - r = a \cos\alpha$.

В задаче не указано, радиус какого именно основания равен $a$, поэтому необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Радиус большего основания равен a

В этом случае $R = a$ и $l = a$. Найдем радиус меньшего основания $r$.

$a - r = a \cos\alpha$

$r = a - a \cos\alpha = a(1 - \cos\alpha)$

Теперь подставим значения $R$, $r$ и $l$ в формулу для полной поверхности:

$S_{полн1} = \pi(a + a(1 - \cos\alpha))a + \pi a^2 + \pi(a(1 - \cos\alpha))^2$

Упростим выражение:

$S_{полн1} = \pi a (2a - a \cos\alpha) + \pi a^2 + \pi a^2 (1 - \cos\alpha)^2$

$S_{полн1} = \pi a^2 (2 - \cos\alpha) + \pi a^2 + \pi a^2 (1 - 2\cos\alpha + \cos^2\alpha)$

$S_{полн1} = \pi a^2 (2 - \cos\alpha + 1 + 1 - 2\cos\alpha + \cos^2\alpha)$

$S_{полн1} = \pi a^2 (4 - 3\cos\alpha + \cos^2\alpha)$

Ответ: $S_{полн} = \pi a^2 (4 - 3\cos\alpha + \cos^2\alpha)$.

Случай 2: Радиус меньшего основания равен a

В этом случае $r = a$ и $l = a$. Найдем радиус большего основания $R$.

$R - a = a \cos\alpha$

$R = a + a \cos\alpha = a(1 + \cos\alpha)$

Теперь подставим значения $R$, $r$ и $l$ в формулу для полной поверхности:

$S_{полн2} = \pi(a(1 + \cos\alpha) + a)a + \pi(a(1 + \cos\alpha))^2 + \pi a^2$

Упростим выражение:

$S_{полн2} = \pi a (2a + a \cos\alpha) + \pi a^2 (1 + \cos\alpha)^2 + \pi a^2$

$S_{полн2} = \pi a^2 (2 + \cos\alpha) + \pi a^2 (1 + 2\cos\alpha + \cos^2\alpha) + \pi a^2$

$S_{полн2} = \pi a^2 (2 + \cos\alpha + 1 + 2\cos\alpha + \cos^2\alpha + 1)$

$S_{полн2} = \pi a^2 (4 + 3\cos\alpha + \cos^2\alpha)$

Ответ: $S_{полн} = \pi a^2 (4 + 3\cos\alpha + \cos^2\alpha)$.