Номер 626, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

626. В правильной шестиугольной усеченной пирамиде ребра оснований равны 16 и 25, боковое ребро — 15. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.

Для нахождения радиуса сферы, описанной около правильной шестиугольной усеченной пирамиды, воспользуемся методом координат или геометрическим подходом через осевое сечение. Центр описанной сферы лежит на высоте пирамиды (или ее продолжении).

1. Найдем радиусы окружностей, описанных около оснований пирамиды. Основаниями являются правильные шестиугольники. Радиус описанной окружности для правильного шестиугольника равен его стороне.
Пусть $a_1$ и $a_2$ — стороны большего и меньшего оснований соответственно.
$a_1 = 25$, $a_2 = 16$.
Тогда радиусы описанных окружностей оснований:
$R_1 = a_1 = 25$
$R_2 = a_2 = 16$

2. Найдем высоту усеченной пирамиды $H$. Рассмотрим проекцию бокового ребра на плоскость основания. Эта проекция, высота $H$ и само боковое ребро $l$ образуют прямоугольный треугольник. Длина проекции бокового ребра на плоскость, параллельную основаниям, равна разности радиусов описанных окружностей оснований $R_1 - R_2$.
По теореме Пифагора:
$H^2 + (R_1 - R_2)^2 = l^2$
где $l=15$ — длина бокового ребра.
$H^2 + (25 - 16)^2 = 15^2$
$H^2 + 9^2 = 15^2$
$H^2 + 81 = 225$
$H^2 = 225 - 81 = 144$
$H = \sqrt{144} = 12$

3. Найдем радиус описанной сферы $R_{сф}$. Центр сферы $O$ находится на оси пирамиды. Пусть $O_1$ — центр большего основания. Все вершины пирамиды равноудалены от центра сферы $O$.
Пусть расстояние от центра сферы $O$ до плоскости большего основания равно $x$. Тогда расстояние от $O$ до любой вершины большего основания (обозначим его $V_1$) и до любой вершины меньшего основания ($V_2$) равно $R_{сф}$.
Рассмотрим два прямоугольных треугольника:
1) С катетами $x$ и $R_1$, и гипотенузой $R_{сф}$ (расстояние от $O$ до $V_1$).
2) С катетами $(H-x)$ и $R_2$, и гипотенузой $R_{сф}$ (расстояние от $O$ до $V_2$).
Получаем систему уравнений:
$R_{сф}^2 = x^2 + R_1^2$
$R_{сф}^2 = (H-x)^2 + R_2^2$
Приравняем правые части:
$x^2 + R_1^2 = (H-x)^2 + R_2^2$
$x^2 + 25^2 = (12-x)^2 + 16^2$
$x^2 + 625 = 144 - 24x + x^2 + 256$
$625 = 400 - 24x$
$24x = 400 - 625$
$24x = -225$
$x = -\frac{225}{24} = -\frac{75}{8}$
Отрицательное значение $x$ означает, что центр сферы находится вне пирамиды, на продолжении высоты за большим основанием на расстоянии $\frac{75}{8}$ от его центра.

4. Теперь вычислим радиус сферы $R_{сф}$, подставив $x$ в первое уравнение:
$R_{сф}^2 = x^2 + R_1^2 = \left(-\frac{75}{8}\right)^2 + 25^2$
$R_{сф}^2 = \frac{5625}{64} + 625 = \frac{5625 + 625 \cdot 64}{64} = \frac{5625 + 40000}{64} = \frac{45625}{64}$
$R_{сф} = \sqrt{\frac{45625}{64}} = \frac{\sqrt{45625}}{\sqrt{64}} = \frac{\sqrt{625 \cdot 73}}{8} = \frac{25\sqrt{73}}{8}$

Ответ: $\frac{25\sqrt{73}}{8}$