Номер 658, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

658. Темная сфера с центром $M_2$ и радиусом $r$ освещается сферой с радиусом $R$ и отбрасывает конус тени, вершина которого находится в точке $H$. Расстояние $M_1 M_2$ между центрами сфер равно $d$. Найдите:

a) расстояние $M_1 H$;

б) радиус $EF$ сечения, проведенного перпендикулярно оси конуса тени на расстоянии $M_2 F$, равном $b$, от центра $M_2$ темной сферы;

в) радиус $FQ$ окружности, которая служит границей полутени для взятого сечения.

а) расстояние $M_1H$

Рассмотрим осевое сечение системы, проходящее через центры сфер $M_1$ и $M_2$. В сечении мы получим два круга: один с центром $M_1$ и радиусом $R$ (источник света), и второй с центром $M_2$ и радиусом $r$ (темная сфера). Конус тени (умбра) образуется внешними касательными к этим двум кругам. Вершина конуса $H$ является точкой пересечения этих касательных.

Пусть $T_1$ и $T_2$ — точки касания на большом и малом кругах соответственно. Тогда радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: $M_1T_1 \perp T_1H$ и $M_2T_2 \perp T_2H$. Таким образом, образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle M_1T_1H$ и $\triangle M_2T_2H$.

Эти треугольники подобны по общему острому углу при вершине $H$. Из подобия треугольников следует отношение их сторон: $ \frac{M_1H}{M_2H} = \frac{M_1T_1}{M_2T_2} = \frac{R}{r} $

Точки $M_1$, $M_2$ и $H$ лежат на одной прямой (оси конуса). Поскольку темная сфера находится между источником света и вершиной тени, то $M_1H = M_1M_2 + M_2H$. По условию $M_1M_2 = d$, значит $M_1H = d + M_2H$.

Подставим это выражение в пропорцию: $ \frac{d + M_2H}{M_2H} = \frac{R}{r} $ $ r(d + M_2H) = R \cdot M_2H $ $ rd + r \cdot M_2H = R \cdot M_2H $ $ rd = (R - r)M_2H $ Отсюда находим расстояние от центра темной сферы до вершины конуса: $ M_2H = \frac{rd}{R - r} $

Теперь найдем искомое расстояние $M_1H$: $ M_1H = d + M_2H = d + \frac{rd}{R - r} = \frac{d(R - r) + rd}{R - r} = \frac{dR - dr + rd}{R - r} = \frac{dR}{R - r} $

Ответ: $ \frac{dR}{R - r} $

б) радиус $EF$ сечения, проведенного перпендикулярно оси конуса тени на расстоянии $M_2F$, равном $b$, от центра $M_2$ темной сферы

Сечение конуса тени является кругом. Его радиус $EF$. Центр этого круга, точка $F$, лежит на оси конуса. По условию, расстояние от центра темной сферы до плоскости сечения равно $M_2F = b$. Будем считать, что сечение находится внутри конуса тени, то есть точка $F$ лежит между $M_2$ и $H$.

В осевом сечении мы имеем прямоугольный треугольник $\triangle EFH$, который подобен треугольнику $\triangle M_2T_2H$. Из подобия следует: $ \frac{EF}{M_2T_2} = \frac{FH}{M_2H} $

Нам известны:

• $M_2T_2 = r$ (радиус темной сферы)
• $M_2H = \frac{rd}{R - r}$ (из пункта а)
• $FH = M_2H - M_2F = \frac{rd}{R - r} - b$

Подставим эти значения в пропорцию и выразим $EF$: $ EF = M_2T_2 \cdot \frac{FH}{M_2H} = r \cdot \frac{\frac{rd}{R - r} - b}{\frac{rd}{R - r}} = r \left( 1 - \frac{b}{\frac{rd}{R - r}} \right) = r \left( 1 - \frac{b(R - r)}{rd} \right) $ $ EF = r - \frac{b(R - r)}{d} $

Ответ: $ r - \frac{b(R - r)}{d} $

в) радиус $FQ$ окружности, которая служит границей полутени для взятого сечения

Граница полутени образуется конусом, вершина которого ($H'$) лежит между центрами сфер $M_1$ и $M_2$. Этот конус образован внутренними общими касательными к сферам.

Рассмотрим снова осевое сечение. Пусть $H'$ — точка пересечения внутренних касательных. Аналогично пункту (а), из подобия прямоугольных треугольников $\triangle M_1T'_1H'$ и $\triangle M_2T'_2H'$ (где $T'_1, T'_2$ — точки касания) имеем: $ \frac{M_1H'}{M_2H'} = \frac{R}{r} $

В данном случае точка $H'$ лежит между $M_1$ и $M_2$, поэтому $M_1M_2 = M_1H' + M_2H' = d$. Из пропорции выразим $M_1H' = \frac{R}{r}M_2H'$. Подставим в сумму: $ \frac{R}{r}M_2H' + M_2H' = d \implies M_2H'\left(\frac{R+r}{r}\right) = d \implies M_2H' = \frac{rd}{R+r} $

Радиус полутени $FQ$ в том же сечении, что и в пункте (б), определяется из подобия треугольников $\triangle FQH'$ и $\triangle M_2T'_2H'$. $ \frac{FQ}{M_2T'_2} = \frac{FH'}{M_2H'} $

Нам известны:

• $M_2T'_2 = r$
• $M_2H' = \frac{rd}{R+r}$
• Точки на оси расположены в порядке $M_1, H', M_2, F$. Поэтому $FH' = M_2H' + M_2F = \frac{rd}{R+r} + b$

Подставляем и находим $FQ$: $ FQ = M_2T'_2 \cdot \frac{FH'}{M_2H'} = r \cdot \frac{\frac{rd}{R+r} + b}{\frac{rd}{R+r}} = r \left( 1 + \frac{b}{\frac{rd}{R+r}} \right) = r \left( 1 + \frac{b(R+r)}{rd} \right) $ $ FQ = r + \frac{b(R+r)}{d} $

Ответ: $ r + \frac{b(R + r)}{d} $