Номер 675, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

675. Вокруг шара с радиусом $R$ описан конус, высота которого вдвое больше диаметра шара. Докажите, что полная поверхность этого конуса вдвое больше поверхности шара, а объем конуса вдвое больше объема шара.

Пусть $R$ — радиус шара. По условию задачи, конус описан вокруг этого шара. Высота конуса $H$ вдвое больше диаметра шара $d_{ш}$.

Диаметр шара $d_{ш} = 2R$. Высота конуса $H = 2 \cdot d_{ш} = 2 \cdot (2R) = 4R$.

Для решения задачи нам необходимо выразить параметры конуса (радиус основания $r$ и образующую $l$) через радиус шара $R$. Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением является равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиуса $R$.

Пусть осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной $A$ и основанием $BC$. Высота треугольника $AM$ является высотой конуса, $AM = H = 4R$. Центр вписанной окружности $O$ (центр шара) лежит на высоте $AM$. Радиус окружности, проведенный к основанию $BC$, есть отрезок $OM$, и $OM = R$.

Таким образом, расстояние от вершины конуса до центра шара составляет $AO = AM - OM = 4R - R = 3R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$, где $MC = r$ — радиус основания конуса, а $AC = l$ — образующая конуса. Проведем радиус шара $OK$ в точку касания с образующей $AC$. Треугольник $AOK$ — прямоугольный, так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания.

Треугольники $\triangle AOK$ и $\triangle AMC$ подобны по общему острому углу $\angle CAM$. Из подобия следует соотношение сторон: $ \frac{OK}{MC} = \frac{AO}{AC} $

Подставим известные величины: $OK = R$, $MC = r$, $AO = 3R$, $AC = l$. $ \frac{R}{r} = \frac{3R}{l} \implies l = 3r $

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику $AMC$: $ l^2 = H^2 + r^2 $ Подставим $l = 3r$ и $H = 4R$: $ (3r)^2 = (4R)^2 + r^2 $ $ 9r^2 = 16R^2 + r^2 $ $ 8r^2 = 16R^2 $ $ r^2 = 2R^2 \implies r = R\sqrt{2} $

Зная $r$, найдем образующую $l$: $ l = 3r = 3R\sqrt{2} $

Теперь у нас есть все необходимые параметры для доказательства.

Площадь поверхности шара ($S_{ш}$) вычисляется по формуле: $ S_{ш} = 4\pi R^2 $

Полная поверхность конуса ($S_{к}$) состоит из площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $ S_{к} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l $

Подставим найденные выражения для $r$ и $l$: $ S_{к} = \pi (R\sqrt{2})^2 + \pi (R\sqrt{2})(3R\sqrt{2}) $ $ S_{к} = \pi (2R^2) + \pi (3R^2 \cdot 2) $ $ S_{к} = 2\pi R^2 + 6\pi R^2 = 8\pi R^2 $

Сравним площади поверхностей конуса и шара: $ \frac{S_{к}}{S_{ш}} = \frac{8\pi R^2}{4\pi R^2} = 2 $

Следовательно, $S_{к} = 2 \cdot S_{ш}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Полная поверхность конуса ($8\pi R^2$) вдвое больше поверхности шара ($4\pi R^2$).

Объем шара ($V_{ш}$) вычисляется по формуле: $ V_{ш} = \frac{4}{3}\pi R^3 $

Объем конуса ($V_{к}$) вычисляется по формуле: $ V_{к} = \frac{1}{3} \pi r^2 H $

Подставим найденное выражение для $r^2 = 2R^2$ и заданную высоту $H = 4R$: $ V_{к} = \frac{1}{3} \pi (2R^2)(4R) $ $ V_{к} = \frac{8}{3}\pi R^3 $

Сравним объемы конуса и шара: $ \frac{V_{к}}{V_{ш}} = \frac{\frac{8}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{8}{4} = 2 $

Следовательно, $V_{к} = 2 \cdot V_{ш}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Объем конуса ($\frac{8}{3}\pi R^3$) вдвое больше объема шара ($\frac{4}{3}\pi R^3$).