Номер 683, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

683. Радиус основания конуса равен 3 см, высота конуса – 4 см. Найдите радиус шара, поверхности которого принадлежит окружность основания конуса и середины образующих.

Пусть радиус основания конуса $r = 3$ см, а высота конуса $h = 4$ см. Нам нужно найти радиус шара $R$.

Поверхность искомого шара проходит через две окружности:
1. Окружность основания конуса.
2. Окружность, образованная серединами образующих конуса.

Введем систему координат. Пусть центр основания конуса находится в начале координат $O(0,0,0)$, а ось конуса совпадает с осью $Oz$. Тогда вершина конуса имеет координаты $S(0,0,h)$, то есть $S(0,0,4)$.

Окружность основания конуса лежит в плоскости $z=0$ и имеет радиус $r_1 = r = 3$ см.

Окружность, образованная серединами образующих, лежит в плоскости, параллельной основанию. Из подобия треугольников следует, что эта плоскость проходит через середину высоты конуса, то есть на высоте $z = h/2 = 4/2 = 2$ см. Радиус этой окружности равен половине радиуса основания: $r_2 = r/2 = 3/2 = 1.5$ см.

Из соображений симметрии, центр шара должен лежать на оси конуса (оси $Oz$). Пусть его координаты $C(0,0,z_c)$, а радиус шара равен $R$. Уравнение сферы имеет вид $x^2 + y^2 + (z-z_c)^2 = R^2$.

Поскольку все точки обеих окружностей лежат на сфере, мы можем взять по одной произвольной точке с каждой окружности и подставить их координаты в уравнение сферы.
Возьмем точку $P_1(3,0,0)$ на окружности основания. Для нее выполняется:
$3^2 + 0^2 + (0 - z_c)^2 = R^2$
$9 + z_c^2 = R^2$ (1)

Возьмем точку $P_2(1.5,0,2)$ на второй окружности. Для нее выполняется:
$(1.5)^2 + 0^2 + (2 - z_c)^2 = R^2$
$2.25 + (2 - z_c)^2 = R^2$ (2)

Приравняем правые части уравнений (1) и (2), чтобы найти $z_c$:
$9 + z_c^2 = 2.25 + (2 - z_c)^2$
$9 + z_c^2 = 2.25 + 4 - 4z_c + z_c^2$
$9 = 6.25 - 4z_c$
$4z_c = 6.25 - 9$
$4z_c = -2.75$
$z_c = -\frac{2.75}{4} = -\frac{11/4}{4} = -\frac{11}{16}$

Теперь найдем квадрат радиуса шара $R^2$, подставив значение $z_c$ в уравнение (1):
$R^2 = 9 + z_c^2 = 9 + \left(-\frac{11}{16}\right)^2 = 9 + \frac{121}{256}$
$R^2 = \frac{9 \cdot 256 + 121}{256} = \frac{2304 + 121}{256} = \frac{2425}{256}$

Отсюда находим радиус шара $R$:
$R = \sqrt{\frac{2425}{256}} = \frac{\sqrt{2425}}{16} = \frac{\sqrt{25 \cdot 97}}{16} = \frac{5\sqrt{97}}{16}$ см.

Ответ: $\frac{5\sqrt{97}}{16}$ см.