Номер 733, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

733. Найдите отношение объема шара к объему вписанного в него:

а) куба;

б) правильного октаэдра;

в) правильного тетраэдра.

Обозначим радиус шара как $R$. Его объем равен $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Мы найдем отношение этого объема к объему каждой из вписанных фигур.

а) куба;

Когда куб вписан в шар, все его вершины лежат на поверхности шара. Это означает, что главная диагональ куба равна диаметру шара.
Пусть ребро куба имеет длину $a$. Длина главной диагонали куба вычисляется по формуле $d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$.
Диаметр шара равен $2R$.
Приравнивая диагональ куба к диаметру шара, получаем: $a\sqrt{3} = 2R$.
Отсюда выражаем длину ребра куба через радиус шара: $a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.
Объем куба равен $V_{куба} = a^3$. Подставим найденное выражение для $a$:
$V_{куба} = \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{8R^3}{3\sqrt{3}}$.
Теперь найдем искомое отношение объемов:
$\frac{V_{шара}}{V_{куба}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{8R^3}{3\sqrt{3}}} = \frac{4\pi R^3}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8R^3} = \frac{12\pi\sqrt{3}R^3}{24R^3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{2}$

б) правильного октаэдра;

Когда правильный октаэдр вписан в шар, все его 6 вершин лежат на поверхности шара. Вершины октаэдра можно расположить на концах трех взаимно перпендикулярных диаметров шара. Таким образом, расстояние от центра шара (и октаэдра) до любой его вершины равно радиусу шара $R$.
Пусть ребро октаэдра равно $a$. Две соседние вершины могут иметь координаты $(R, 0, 0)$ и $(0, R, 0)$. Расстояние между ними (длина ребра $a$) равно:
$a = \sqrt{(R-0)^2 + (0-R)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$.
Объем правильного октаэдра можно найти как сумму объемов двух правильных четырехугольных пирамид с общим квадратным основанием со стороной $a$ и высотой $h=R$.
$V_{октаэдра} = 2 \cdot \left(\frac{1}{3} S_{осн} \cdot h\right) = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot R = \frac{2}{3}(R\sqrt{2})^2 R = \frac{2}{3}(2R^2)R = \frac{4}{3}R^3$.
Найдем отношение объемов шара и октаэдра:
$\frac{V_{шара}}{V_{октаэдра}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}R^3} = \pi$.

Ответ: $\pi$

в) правильного тетраэдра.

Когда правильный тетраэдр вписан в шар, все его 4 вершины лежат на поверхности шара, а центр шара совпадает с центром тетраэдра (точкой пересечения его высот).
Радиус $R$ описанной около правильного тетраэдра сферы связан с его ребром $a$ соотношением: $R = a\frac{\sqrt{6}}{4}$.
Выразим ребро тетраэдра через радиус шара:
$a = \frac{4R}{\sqrt{6}} = \frac{4R\sqrt{6}}{6} = \frac{2R\sqrt{6}}{3}$.
Объем правильного тетраэдра вычисляется по формуле $V_{тетраэдра} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.
Подставим в эту формулу найденное выражение для $a$:
$V_{тетраэдра} = \frac{\sqrt{2}}{12} \left(\frac{2R\sqrt{6}}{3}\right)^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot \frac{8R^3 \cdot 6\sqrt{6}}{27} = \frac{\sqrt{2} \cdot 48\sqrt{6} R^3}{12 \cdot 27} = \frac{4\sqrt{2}\sqrt{6} R^3}{27} = \frac{4\sqrt{12} R^3}{27} = \frac{4 \cdot 2\sqrt{3} R^3}{27} = \frac{8\sqrt{3}R^3}{27}$.
Найдем отношение объемов шара и тетраэдра:
$\frac{V_{шара}}{V_{тетраэдра}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{8\sqrt{3}R^3}{27}} = \frac{4\pi R^3}{3} \cdot \frac{27}{8\sqrt{3}R^3} = \frac{4\pi \cdot 9}{8\sqrt{3}} = \frac{9\pi}{2\sqrt{3}}$.
Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
$\frac{9\pi\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{9\pi\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\pi\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi\sqrt{3}}{2}$