Номер 796, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

796. Точки $K$ и $N$ на стороне $AB$ треугольника $ABC$ отмечены так, что $AN = AC$ и $BK = BC$ (рис. 255). Найдите угол $\angle KCN$, учитывая, что угол $\angle ACB$ равен $86^\circ$.

Рис. 255

Рассмотрим треугольник $ANC$. По условию задачи $AN = AC$, следовательно, треугольник $ANC$ является равнобедренным с основанием $NC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle ANC = \angle ACN$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, значит $\angle A + \angle ANC + \angle ACN = 180^\circ$. Заменив $\angle ANC$ на $\angle ACN$, получим $\angle A + 2\angle ACN = 180^\circ$. Отсюда мы можем выразить $\angle ACN$:

$\angle ACN = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}$

Теперь рассмотрим треугольник $BKC$. По условию $BK = BC$, следовательно, треугольник $BKC$ также является равнобедренным с основанием $KC$. Углы при его основании равны: $\angle BKC = \angle BCK$. Из суммы углов треугольника ($\angle B + \angle BKC + \angle BCK = 180^\circ$) следует, что $\angle B + 2\angle BCK = 180^\circ$. Выразим $\angle BCK$:

$\angle BCK = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$

Сложим полученные выражения для углов $\angle ACN$ и $\angle BCK$:

$\angle ACN + \angle BCK = (90^\circ - \frac{\angle A}{2}) + (90^\circ - \frac{\angle B}{2}) = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}$

В основном треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B + \angle ACB = 180^\circ$. По условию $\angle ACB = 86^\circ$, значит, сумма двух других углов составляет $\angle A + \angle B = 180^\circ - 86^\circ = 94^\circ$.

Подставим это значение в выражение для суммы углов $\angle ACN$ и $\angle BCK$:

$\angle ACN + \angle BCK = 180^\circ - \frac{94^\circ}{2} = 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$.

Из рисунка видно, что углы $\angle ACN$ и $\angle BCK$ пересекаются, и их общей частью является искомый угол $\angle KCN$. Можно записать следующие равенства: $\angle ACN = \angle ACK + \angle KCN$ и $\angle BCK = \angle BCN + \angle KCN$. Сложив эти равенства, получим:

$\angle ACN + \angle BCK = \angle ACK + \angle KCN + \angle BCN + \angle KCN = (\angle ACK + \angle BCN + \angle KCN) + \angle KCN$

Выражение в скобках представляет собой угол $\angle ACB$. Таким образом, мы получаем соотношение:

$\angle ACN + \angle BCK = \angle ACB + \angle KCN$

Теперь мы можем найти искомый угол $\angle KCN$, подставив известные значения в полученное равенство:

$133^\circ = 86^\circ + \angle KCN$

$\angle KCN = 133^\circ - 86^\circ = 47^\circ$

Ответ: $47^\circ$.