Номер 978, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

978. Около шара описана правильная четырехугольная усеченная пирамида, стороны оснований которой относятся как $m : n (m > n)$. Найдите угол наклона к плоскости основания:

а) боковой грани;

б) бокового ребра.

Пусть дана правильная четырехугольная усеченная пирамида. Обозначим сторону нижнего (большего) основания как $a$, а сторону верхнего (меньшего) основания как $b$. По условию, их отношение равно $a/b = m/n$, где $m > n$.

Так как около пирамиды описан шар, это означает, что шар касается обоих оснований и всех боковых граней. Касание оснований означает, что высота пирамиды $H$ равна диаметру шара $2R$, то есть $H = 2R$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через центры оснований и перпендикулярное двум противоположным сторонам оснований. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, основания которой равны сторонам оснований пирамиды $a$ и $b$, а высота равна высоте пирамиды $H$. Боковыми сторонами этой трапеции являются апофемы $l$ боковых граней пирамиды.

Поскольку шар касается боковых граней, в эту трапецию можно вписать окружность (большой круг шара) с диаметром, равным высоте трапеции $H$. Для описанной около окружности трапеции сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: $a + b = 2l$.

Проведем в этой трапеции высоту из вершины меньшего основания. Получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является апофема $l$, одним катетом — высота пирамиды $H$, а другим катетом — отрезок, равный полуразности оснований трапеции, то есть $(a-b)/2$. По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

Подставим в это уравнение выражение для апофемы $l = (a+b)/2$:

$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = H^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

$H^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4} = \frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)}{4} = \frac{4ab}{4} = ab$

Отсюда находим высоту пирамиды: $H = \sqrt{ab}$.

а) боковой грани;

Угол наклона боковой грани к плоскости основания — это двугранный угол при ребре основания. В рассмотренном нами осевом сечении это угол $\alpha$ при большем основании трапеции. В прямоугольном треугольнике с катетами $H$ и $(a-b)/2$ и гипотенузой $l$ тангенс этого угла равен:

$\tan \alpha = \frac{H}{\frac{a-b}{2}} = \frac{2H}{a-b}$

Подставим найденное значение $H = \sqrt{ab}$:

$\tan \alpha = \frac{2\sqrt{ab}}{a-b}$

Теперь воспользуемся соотношением сторон $a/b = m/n$. Пусть $a = mk$ и $b = nk$ для некоторого коэффициента пропорциональности $k$.

$\tan \alpha = \frac{2\sqrt{mk \cdot nk}}{mk - nk} = \frac{2\sqrt{mnk^2}}{k(m-n)} = \frac{2k\sqrt{mn}}{k(m-n)} = \frac{2\sqrt{mn}}{m-n}$

Следовательно, угол наклона боковой грани $\alpha$ равен:

$\alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{mn}}{m-n}\right)$

Ответ: $\alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{mn}}{m-n}\right)$.

б) бокового ребра.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол $\beta$ между боковым ребром и его проекцией на плоскость нижнего основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $L$ (гипотенуза), высотой пирамиды $H$ (катет) и проекцией бокового ребра на плоскость основания (второй катет).

Проекция бокового ребра на плоскость основания — это отрезок, соединяющий вершину основания с проекцией соответствующей вершины другого основания. Длина этой проекции равна разности расстояний от центра основания до его вершины для нижнего и верхнего оснований. Диагонали квадратов оснований равны $d_a = a\sqrt{2}$ и $d_b = b\sqrt{2}$. Расстояния от центров до вершин (половины диагоналей) равны $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{b\sqrt{2}}{2}$.

Длина проекции бокового ребра равна:

$\frac{a\sqrt{2}}{2} - \frac{b\sqrt{2}}{2} = \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2}$

Тангенс угла наклона бокового ребра $\beta$ равен отношению высоты $H$ к длине проекции:

$\tan \beta = \frac{H}{\frac{(a-b)\sqrt{2}}{2}} = \frac{2H}{(a-b)\sqrt{2}} = \frac{H\sqrt{2}}{a-b}$

Подставим $H = \sqrt{ab}$:

$\tan \beta = \frac{\sqrt{ab}\sqrt{2}}{a-b} = \frac{\sqrt{2ab}}{a-b}$

Снова используем $a = mk$ и $b = nk$:

$\tan \beta = \frac{\sqrt{2 \cdot mk \cdot nk}}{mk - nk} = \frac{\sqrt{2mnk^2}}{k(m-n)} = \frac{k\sqrt{2mn}}{k(m-n)} = \frac{\sqrt{2mn}}{m-n}$

Следовательно, угол наклона бокового ребра $\beta$ равен:

$\beta = \arctan\left(\frac{\sqrt{2mn}}{m-n}\right)$

Ответ: $\beta = \arctan\left(\frac{\sqrt{2mn}}{m-n}\right)$.