Номер 177, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

177. Точки $Q$, $B$ и $R$ — соответственно середины рёбер $SY$, $XX_1$ и $S_1T_1$ параллелепипеда $STXYS_1T_1X_1Y_1$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью $QBR$.

Для построения сечения параллелепипеда $STXYS_1T_1X_1Y_1$ плоскостью, проходящей через точки $Q, B, R$, воспользуемся методом, основанным на свойствах центральной симметрии параллелепипеда.

1. Анализ расположения точек и использование центральной симметрии

Параллелепипед — это центрально-симметричная фигура. Центром симметрии $O$ является точка пересечения его диагоналей (например, середина диагонали $SX_1$).

Заданные точки $Q, B, R$ являются серединами рёбер $SY, XX_1$ и $S_1T_1$ соответственно. Найдём точки, симметричные данным относительно центра параллелепипеда $O$:

- Точка, симметричная $Q$ (середине ребра $SY$), — это точка $Q'$, которая является серединой противоположного ребра $T_1X_1$.
- Точка, симметричная $B$ (середине ребра $XX_1$), — это точка $B'$, которая является серединой противоположного ребра $SS_1$.
- Точка, симметричная $R$ (середине ребра $S_1T_1$), — это точка $R'$, которая является серединой противоположного ребра $XY$.

Можно доказать (например, введя систему координат), что плоскость, проходящая через середины трёх рёбер $SY$, $XX_1$ и $S_1T_1$, проходит через центр симметрии параллелепипеда $O$. Это свойство означает, что искомое сечение будет центрально-симметричным многоугольником. Следовательно, точки $Q', B', R'$, симметричные исходным точкам, также принадлежат секущей плоскости $QBR$.

Таким образом, мы имеем шесть точек, принадлежащих искомому сечению: $Q, B, R, Q', B', R'$.

2. Построение сторон сечения

Теперь необходимо последовательно соединить отрезками те из найденных шести точек, которые лежат в одной грани параллелепипеда:

1. Точки $Q$ и $B'$ лежат в плоскости левой грани $(SYY_1S_1)$. Соединяем их, получая сторону сечения $QB'$.
2. Точки $B'$ и $R$ лежат в плоскости передней грани $(STT_1S_1)$. Соединяем их, получая сторону $B'R$.
3. Точки $R$ и $Q'$ лежат в плоскости верхней грани $(S_1T_1X_1Y_1)$. Соединяем их, получая сторону $RQ'$.
4. Точки $Q'$ и $B$ лежат в плоскости правой грани $(TXX_1T_1)$. Соединяем их, получая сторону $Q'B$.
5. Точки $B$ и $R'$ лежат в плоскости задней грани $(XYY_1X_1)$. Соединяем их, получая сторону $BR'$.
6. Точки $R'$ и $Q$ лежат в плоскости нижней грани $(STXY)$. Соединяем их, получая сторону $R'Q$.

В результате получаем замкнутую ломаную $QB'RQ'BR'$, которая является шестиугольником. Этот шестиугольник и есть искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — шестиугольник $QB'RQ'BR'$, где $B'$ — середина ребра $SS_1$, $Q'$ — середина ребра $T_1X_1$, а $R'$ — середина ребра $XY$.