Номер 233, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

233*. Измерения $AB$, $AD$ и диагональ $AC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны 6, 12 и 18 соответственно. Точки $K$ и $K_1$ выбраны на рёбрах $AD$ и $A_1D_1$ так, что $AK : KD = A_1K_1 : K_1D_1 = 1 : 3$. Докажите, что плоскость $BKK_1$ перпендикулярна прямой $AC$, и найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $BKK_1$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль рёбер параллелепипеда. Пусть ось $Ox$ направлена вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AB$, ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$.

По условию даны измерения $AB = 6$ и $AD = 12$. Обозначим их как $b=6$ и $a=12$. Третье измерение, высоту $AA_1 = c$, можно найти, используя длину диагонали $AC_1 = 18$. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:

$AC_1^2 = AD^2 + AB^2 + AA_1^2$

$18^2 = 12^2 + 6^2 + c^2$

$324 = 144 + 36 + c^2$

$324 = 180 + c^2$

$c^2 = 324 - 180 = 144$

$c = 12$.

Таким образом, высота параллелепипеда $AA_1 = 12$.

Теперь мы можем определить координаты вершин:

$A(0, 0, 0)$, $D(12, 0, 0)$, $B(0, 6, 0)$, $A_1(0, 0, 12)$, $C_1(12, 6, 12)$.

Координаты вектора диагонали $\vec{AC_1}$ равны координатам точки $C_1$: $\vec{AC_1} = \{12; 6; 12\}$.

Найдем координаты точек $K$ и $K_1$.

Точка $K$ лежит на ребре $AD$ (ось $Ox$) и делит его в отношении $AK : KD = 1 : 3$. Длина $AD = 12$. Следовательно, $AK = \frac{1}{1+3} AD = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3$. Координаты точки $K(3, 0, 0)$.

Точка $K_1$ лежит на ребре $A_1D_1$ и делит его в таком же отношении $A_1K_1 : K_1D_1 = 1 : 3$. Ребро $A_1D_1$ параллельно и равно $AD$. Координаты вершин: $A_1(0, 0, 12)$, $D_1(12, 0, 12)$. Длина $A_1K_1 = \frac{1}{4} A_1D_1 = 3$. Координаты точки $K_1(3, 0, 12)$.

Докажите, что плоскость $BKK_1$ перпендикулярна прямой $AC_1$

Для того чтобы доказать, что прямая перпендикулярна плоскости, необходимо показать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых в плоскости $BKK_1$ можно выбрать прямые $BK$ и $KK_1$.

Найдем векторы, соответствующие этим прямым:

$\vec{BK} = K - B = (3-0, 0-6, 0-0) = \{3; -6; 0\}$

$\vec{KK_1} = K_1 - K = (3-3, 0-0, 12-0) = \{0; 0; 12\}$

Проверим перпендикулярность векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{BK}$ с помощью скалярного произведения:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{BK} = 12 \cdot 3 + 6 \cdot (-6) + 12 \cdot 0 = 36 - 36 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит, прямая $AC_1$ перпендикулярна прямой $BK$.

Теперь проверим перпендикулярность векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{KK_1}$:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{KK_1} = 12 \cdot 0 + 6 \cdot 0 + 12 \cdot 12 = 144$.

Скалярное произведение не равно нулю, следовательно, прямая $AC_1$ не перпендикулярна прямой $KK_1$.

Поскольку прямая $AC_1$ не перпендикулярна второй прямой $KK_1$ в плоскости $BKK_1$, она не может быть перпендикулярна всей плоскости. Это означает, что в условии задачи содержится неточность. Прямая $AC_1$ перпендикулярна только одной из прямых ($BK$) в секущей плоскости, но не всей плоскости.

Ответ: Доказательство того, что прямая $AC_1$ перпендикулярна прямой $BK$, приведено выше. Утверждение о перпендикулярности прямой $AC_1$ и плоскости $BKK_1$ в целом является неверным, так как $AC_1$ не перпендикулярна прямой $KK_1$.

найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $BKK_1$

Секущая плоскость проходит через три точки: $B(0, 6, 0)$, $K(3, 0, 0)$ и $K_1(3, 0, 12)$.

Вектор $\vec{KK_1} = \{0; 0; 12\}$. Вектор $\vec{AA_1} = A_1 - A = \{0; 0; 12\}$. Следовательно, $\vec{KK_1} = \vec{AA_1}$, что означает, что прямая $KK_1$ параллельна боковому ребру $AA_1$ (и всем остальным боковым рёбрам, например $BB_1$).

Так как секущая плоскость содержит прямую $KK_1$, параллельную ребру $BB_1$, то линия пересечения этой плоскости с гранью $BCC_1B_1$, содержащей ребро $BB_1$, будет прямой, параллельной $BB_1$ и $KK_1$. Эта линия проходит через точку $B$, значит, она совпадает с ребром $BB_1$. Таким образом, точка $B_1(0, 6, 12)$ также принадлежит секущей плоскости.

Сечением является четырёхугольник $BKK_1B_1$.

Найдём векторы, образующие его стороны:

$\vec{BK} = \{3; -6; 0\}$

$\vec{B_1K_1} = K_1 - B_1 = (3-0, 0-6, 12-12) = \{3; -6; 0\}$

Поскольку $\vec{BK} = \vec{B_1K_1}$, стороны $BK$ и $B_1K_1$ параллельны и равны. Следовательно, $BKK_1B_1$ — параллелограмм.

Площадь параллелограмма можно найти как модуль векторного произведения его смежных сторон, например $\vec{BK}$ и $\vec{BB_1}$.

$\vec{BB_1} = B_1 - B = (0-0, 6-6, 12-0) = \{0; 0; 12\}$

Проверим, не является ли этот параллелограмм прямоугольником, вычислив скалярное произведение векторов $\vec{BK}$ и $\vec{BB_1}$:

$\vec{BK} \cdot \vec{BB_1} = 3 \cdot 0 + (-6) \cdot 0 + 0 \cdot 12 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, стороны $BK$ и $BB_1$ перпендикулярны. Значит, сечение $BKK_1B_1$ является прямоугольником.

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон:

$|BK| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

$|BB_1| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 12^2} = 12$.

$S_{BKK_1B_1} = |BK| \cdot |BB_1| = 3\sqrt{5} \cdot 12 = 36\sqrt{5}$.

Ответ: $36\sqrt{5}$.