Номер 242, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

242*. Основанием треугольной пирамиды $SXYZ$ является правильный треугольник, а рёбра $SZ$, $SX$, $SY$ взаимно перпендикулярны. Через точку $Q$, выбранную на ребре $XZ$, проведена плоскость, перпендикулярная прямой $SZ$. Найдите ребро $SX$ пирамиды, учитывая, что площадь сечения равна $32 \text{ см}^2$, а $SQ = 17 \text{ см}$.

Решение:

1. Анализ свойств пирамиды.
Поскольку рёбра $SX, SY, SZ$ взаимно перпендикулярны, мы можем считать вершину $S$ началом прямоугольной системы координат, а рёбра $SX, SY, SZ$ лежащими на её осях. Из этого следует, что грани $SXY, SYZ, SXZ$ являются прямоугольными треугольниками с прямым углом при вершине $S$.

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем: $XY^2 = SX^2 + SY^2$
$YZ^2 = SY^2 + SZ^2$
$XZ^2 = SX^2 + SZ^2$

По условию, основание $XYZ$ является правильным треугольником, следовательно, его стороны равны: $XY = YZ = XZ$. Тогда равны и их квадраты: $XY^2 = YZ^2 = XZ^2$.

Приравнивая выражения для квадратов сторон, получаем систему: $SX^2 + SY^2 = SY^2 + SZ^2 \implies SX^2 = SZ^2$ $SY^2 + SZ^2 = SX^2 + SZ^2 \implies SY^2 = SX^2$

Так как длины рёбер — положительные величины, получаем, что $SX = SY = SZ$. Обозначим длину этих рёбер через $a$, то есть $SX = a$.

2. Построение и анализ сечения.
Введём систему координат с началом в точке $S(0, 0, 0)$ и осями, направленными вдоль рёбер: ось $Ox$ вдоль ребра $SX$, ось $Oy$ вдоль ребра $SY$ и ось $Oz$ вдоль ребра $SZ$. Тогда вершины пирамиды имеют координаты: $X(a, 0, 0)$, $Y(0, a, 0)$, $Z(0, 0, a)$.

Точка $Q$ лежит на ребре $XZ$. Её координаты $(x_Q, 0, z_Q)$. Так как $Q$ лежит на отрезке, соединяющем $X(a, 0, 0)$ и $Z(0, 0, a)$, её координаты удовлетворяют уравнению прямой $XZ$ в плоскости $OXZ$: $\frac{x_Q}{a} + \frac{z_Q}{a} = 1$, то есть $x_Q + z_Q = a$.

Плоскость сечения $\alpha$ перпендикулярна ребру $SZ$ (которое лежит на оси $Oz$). Следовательно, уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид $z = c$, где $c$ - константа. Так как плоскость $\alpha$ проходит через точку $Q(x_Q, 0, z_Q)$, её уравнение принимает вид $z = z_Q$.

Сечение — это фигура, образованная пересечением плоскости $z=z_Q$ с пирамидой. Найдём вершины этой фигуры. Они являются точками пересечения плоскости с рёбрами пирамиды.

- Пересечение с ребром $SZ$: точка $P(0, 0, z_Q)$.
- Пересечение с ребром $XZ$: это сама точка $Q(x_Q, 0, z_Q)$. Из $x_Q + z_Q = a$ имеем $x_Q = a - z_Q$.
- Пересечение с ребром $YZ$: точка $R(0, y_R, z_Q)$. Точка $R$ лежит на отрезке $YZ$, значит её координаты удовлетворяют уравнению прямой $YZ$ в плоскости $OYZ$: $\frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1$, или $y+z=a$. Подставляя $z=z_Q$, получаем $y_R = a - z_Q$. Таким образом, $R(0, a-z_Q, z_Q)$.

Сечением является треугольник $PQR$. Найдём его площадь. Векторы $\vec{PQ}$ и $\vec{PR}$ имеют координаты: $\vec{PQ} = (x_Q - 0, 0 - 0, z_Q - z_Q) = (a-z_Q, 0, 0)$ $\vec{PR} = (0 - 0, a-z_Q - 0, z_Q - z_Q) = (0, a-z_Q, 0)$

Скалярное произведение векторов $\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = (a-z_Q) \cdot 0 + 0 \cdot (a-z_Q) + 0 \cdot 0 = 0$. Следовательно, векторы перпендикулярны, и $\triangle PQR$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P$. Катеты треугольника равны $|PQ| = a-z_Q$ и $|PR| = a-z_Q$.

Площадь сечения $S_{сеч}$ равна: $S_{сеч} = \frac{1}{2} |PQ| \cdot |PR| = \frac{1}{2} (a-z_Q)^2$.

3. Вычисление искомой величины.
По условию, площадь сечения равна 32 см$^2$. $\frac{1}{2} (a-z_Q)^2 = 32 \implies (a-z_Q)^2 = 64$

Поскольку точка $Q$ лежит на отрезке $XZ$ и не совпадает с $Z$, то $z_Q < a$, поэтому $a-z_Q > 0$. Следовательно, $a-z_Q = 8$. Так как $x_Q = a-z_Q$, то получаем $x_Q = 8$ см.

Теперь используем второе условие: $SQ = 17$ см. Расстояние от начала координат $S(0,0,0)$ до точки $Q(x_Q, 0, z_Q)$ находится по формуле: $SQ^2 = x_Q^2 + 0^2 + z_Q^2 = x_Q^2 + z_Q^2$.

Подставляем известные значения: $17^2 = 8^2 + z_Q^2$
$289 = 64 + z_Q^2$
$z_Q^2 = 289 - 64 = 225$
$z_Q = 15$ см (так как координата не может быть отрицательной).

Мы ищем длину ребра $SX = a$. Из соотношения $a = x_Q + z_Q$ находим: $a = 8 + 15 = 23$ см.

Ответ: $23 \text{ см}$.