Номер 285, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

285. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $Q$, прямая $HQ$ перпендикулярна плоскости данного параллелограмма. Найдите высоты параллелограмма, учитывая, что его стороны равны 20 см и 50 см, а расстояния от точки $H$ до сторон параллелограмма равны 17 см и 25 см.

Пусть стороны параллелограмма $ABCD$ равны $a = 20$ см и $b = 50$ см. Диагонали пересекаются в точке $Q$, которая является центром симметрии параллелограмма. Прямая $HQ$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$.

Пусть $h_a$ и $h_b$ — высоты параллелограмма, проведенные к сторонам $a$ и $b$ соответственно.

1. Установление геометрических связей

Расстояние от точки $H$ до стороны параллелограмма — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $H$ на прямую, содержащую эту сторону. Обозначим эти расстояния как $d_a$ и $d_b$. По условию они равны 17 см и 25 см.

Пусть $K_a$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $H$ на сторону $a$. Тогда $HK_a$ — это расстояние от $H$ до стороны $a$. Рассмотрим треугольник $\triangle HQK_a$. Так как $HQ \perp (ABC)$, то $HQ$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через $Q$. В частности, $HQ \perp QK_a$. Следовательно, $\triangle HQK_a$ — прямоугольный.

Отрезок $QK_a$ является проекцией наклонной $HK_a$ на плоскость параллелограмма. По теореме о трех перпендикулярах, так как $HK_a \perp a$, то и ее проекция $QK_a \perp a$. Значит, $QK_a$ — это расстояние от центра параллелограмма $Q$ до стороны $a$.

Расстояние от центра параллелограмма до его стороны равно половине соответствующей высоты. Таким образом: $QK_a = \frac{h_a}{2}$ и $QK_b = \frac{h_b}{2}$.

Применяя теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам $\triangle HQK_a$ и $\triangle HQK_b$, получаем: $d_a^2 = HK_a^2 = HQ^2 + QK_a^2 = HQ^2 + (\frac{h_a}{2})^2$ $d_b^2 = HK_b^2 = HQ^2 + QK_b^2 = HQ^2 + (\frac{h_b}{2})^2$

2. Определение соответствия и расчет высот

Площадь параллелограмма можно выразить через любую сторону и соответствующую ей высоту: $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Подставим известные длины сторон: $20 \cdot h_a = 50 \cdot h_b$ Из этого соотношения выразим одну высоту через другую: $h_a = \frac{50}{20} h_b = 2.5 h_b$.

Поскольку $h_a > h_b$, то и расстояние от центра до стороны $a$ больше, чем до стороны $b$: $\frac{h_a}{2} > \frac{h_b}{2}$. Из уравнений Пифагора следует, что большему расстоянию от центра ($QK$) соответствует большее расстояние от точки $H$ ($d$). Значит, расстояние до стороны $a=20$ см равно 25 см, а расстояние до стороны $b=50$ см равно 17 см. $d_a = 25$ см, $d_b = 17$ см.

Составим систему уравнений: $\begin{cases} 25^2 = HQ^2 + (\frac{h_a}{2})^2 \\ 17^2 = HQ^2 + (\frac{h_b}{2})^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 625 = HQ^2 + \frac{h_a^2}{4} \\ 289 = HQ^2 + \frac{h_b^2}{4} \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить неизвестную величину $HQ^2$: $625 - 289 = \left(HQ^2 + \frac{h_a^2}{4}\right) - \left(HQ^2 + \frac{h_b^2}{4}\right)$ $336 = \frac{h_a^2 - h_b^2}{4}$ $h_a^2 - h_b^2 = 336 \cdot 4 = 1344$

Подставим в полученное уравнение соотношение $h_a = 2.5 h_b$: $(2.5 h_b)^2 - h_b^2 = 1344$ $6.25 h_b^2 - h_b^2 = 1344$ $5.25 h_b^2 = 1344$ $\frac{21}{4} h_b^2 = 1344$ $h_b^2 = \frac{1344 \cdot 4}{21} = 64 \cdot 4 = 256$ $h_b = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь найдем вторую высоту $h_a$: $h_a = 2.5 \cdot h_b = 2.5 \cdot 16 = 40$ см.

Таким образом, высоты параллелограмма равны 16 см и 40 см.

Ответ: 16 см и 40 см.