Номер 297, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

297. Из точки $A$, отстоящей на $d$ от плоскости $\alpha$, проведены наклонные $AB$ и $AC$ под углом $30^\circ$ к плоскости. Их проекции на плоскость $\alpha$ образуют угол в $120^\circ$. Найдите длину отрезка $BC$.

Пусть H — проекция точки A на плоскость α. Тогда отрезок AH является перпендикуляром к плоскости α, и его длина равна расстоянию от точки A до этой плоскости, то есть $AH = d$.

Наклонные AB и AC образуют с плоскостью α углы по 30°. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекциями наклонных AB и AC на плоскость α являются отрезки HB и HC соответственно. Следовательно, $∠ABH = 30°$ и $∠ACH = 30°$.

Поскольку AH перпендикулярен плоскости α, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку H. Значит, треугольники ΔAHB и ΔAHC являются прямоугольными с прямым углом при вершине H.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAHB. Мы можем найти длину проекции HB через тангенс или котангенс угла ∠ABH. Используя котангенс, получаем:$ \text{ctg}(∠ABH) = \frac{HB}{AH} $Отсюда длина проекции HB:$ HB = AH \cdot \text{ctg}(30°) = d \cdot \sqrt{3} $

Аналогично, для прямоугольного треугольника ΔAHC находим длину проекции HC:$ HC = AH \cdot \text{ctg}(30°) = d \cdot \sqrt{3} $Таким образом, длины проекций равны: $HB = HC = d\sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим треугольник ΔBHC, который лежит в плоскости α. По условию, угол между проекциями HB и HC равен 120°, то есть $∠BHC = 120°$. Мы знаем длины двух сторон этого треугольника (HB и HC) и угол между ними. Чтобы найти длину третьей стороны BC, применим теорему косинусов:$ BC^2 = HB^2 + HC^2 - 2 \cdot HB \cdot HC \cdot \cos(∠BHC) $

Подставим известные значения в формулу:$ BC^2 = (d\sqrt{3})^2 + (d\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (d\sqrt{3}) \cdot (d\sqrt{3}) \cdot \cos(120°) $Зная, что $\cos(120°) = - \frac{1}{2}$, получаем:$ BC^2 = 3d^2 + 3d^2 - 2 \cdot 3d^2 \cdot (-\frac{1}{2}) $$ BC^2 = 6d^2 + 3d^2 $$ BC^2 = 9d^2 $Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину BC:$ BC = \sqrt{9d^2} = 3d $

Ответ: $3d$.