Номер 313, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

313. На рисунке 324 двугранные углы $RABP$ и $PABQ$ равны. Докажите, что каждая точка плоскости $ABP$ равноудалена от плоскостей $ABR$ и $ABQ$.

Рис. 324

Доказательство:

По условию задачи, двугранные углы $RABP$ и $PABQ$ равны. Двугранный угол $RABP$ образован плоскостями $ABR$ и $ABP$. Двугранный угол $PABQ$ образован плоскостями $ABP$ и $ABQ$. Все три плоскости ($ABR$, $ABP$, $ABQ$) имеют общую прямую пересечения $AB$.

Тот факт, что двугранные углы $RABP$ и $PABQ$ равны, означает, что плоскость $ABP$ делит двугранный угол, образованный плоскостями $ABR$ и $ABQ$, на два равных двугранных угла. По определению, такая плоскость называется биссекторной плоскостью (или биссектором) двугранного угла.

Основное свойство биссекторной плоскости заключается в том, что каждая ее точка равноудалена от граней двугранного угла (то есть от плоскостей, образующих этот угол).

Таким образом, поскольку плоскость $ABP$ является биссекторной плоскостью для двугранного угла, образованного плоскостями $ABR$ и $ABQ$, любая точка, принадлежащая плоскости $ABP$, будет равноудалена от плоскостей $ABR$ и $ABQ$.

Приведем более строгое доказательство.

1. Выберем произвольную точку $M$ в плоскости $ABP$.

2. Опустим из точки $M$ перпендикуляры на плоскости $ABR$ и $ABQ$. Пусть $MH$ — перпендикуляр к плоскости $ABR$ (точка $H$ лежит в плоскости $ABR$), а $MK$ — перпендикуляр к плоскости $ABQ$ (точка $K$ лежит в плоскости $ABQ$). Длины отрезков $MH$ и $MK$ являются расстояниями от точки $M$ до этих плоскостей. Нам необходимо доказать, что $MH = MK$.

3. Рассмотрим плоскость, проходящую через перпендикуляры $MH$ и $MK$. Пусть эта плоскость пересекает ребро двугранного угла (прямую $AB$) в точке $O$. В этой плоскости лежат отрезки $OH$ и $OK$.

4. Так как $MH \perp (ABR)$, то $MH \perp AB$. Аналогично, так как $MK \perp (ABQ)$, то $MK \perp AB$. Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($MH$ и $MK$) в плоскости $(MHK)$, то прямая $AB$ перпендикулярна всей этой плоскости. Следовательно, $AB \perp OH$ и $AB \perp OK$.

5. По определению, угол $\angle HOK$ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями $ABR$ и $ABQ$.

6. Так как плоскость $ABP$ является биссекторной, то луч $MO$ (который является пересечением биссекторной плоскости $ABP$ и плоскости линейного угла $HOK$) является биссерисой линейного угла $\angle HOK$. Это означает, что $\angle MOH = \angle MOK$.

7. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle MOH$ и $\triangle MOK$. Они оба прямоугольные, так как $\angle MHO = 90^\circ$ и $\angle MKO = 90^\circ$ по построению. У них общая гипотенуза $OM$ и равные острые углы ($\angle MOH = \angle MOK$).

8. Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle MOH$ и $\triangle MOK$ равны по гипотенузе и острому углу.

9. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $MH = MK$.

Поскольку точка $M$ была выбрана на плоскости $ABP$ произвольно, утверждение доказано для любой точки этой плоскости.

Ответ: Утверждение доказано. Каждая точка плоскости $ABP$ равноудалена от плоскостей $ABR$ и $ABQ$, так как плоскость $ABP$ является биссекторной плоскостью двугранного угла, образованного плоскостями $ABR$ и $ABQ$.