Номер 331, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

331. В разных гранях двугранного угла из точек $M$ и $N$ его ребра к этому ребру возведены перпендикуляры $MA$ и $NB$. Определите расстояние $AB$, учитывая, что:

а) двугранный угол прямой, $MN = 36 \text{ см}, MA = 18 \text{ см и } NB = 12 \text{ см}$;

б) двугранный угол равен $120^\circ$, $MN = 12, MA = 8, NB = 4$;

в) двугранный угол равен $120^\circ$, $MN = MA = NB = x$.

Для решения этой задачи в общем виде можно вывести формулу для нахождения квадрата расстояния $AB$. Рассмотрим пространственную систему координат. Пусть ребро двугранного угла $k$ совпадает с осью $Ox$. Поместим точку $M$ в начало координат $(0, 0, 0)$. Тогда точка $N$ будет иметь координаты $(MN, 0, 0)$.

Поскольку отрезок $MA$ лежит в одной из граней и перпендикулярен ребру $k$, мы можем расположить эту грань в плоскости $Oxy$. Тогда точка $A$ будет иметь координаты $(0, MA, 0)$.

Вторая грань, в которой лежит отрезок $NB$, составляет с первой гранью двугранный угол $\theta$. Отрезок $NB$ перпендикулярен ребру $k$ в точке $N$. Вектор $\vec{NB}$ будет иметь координаты $(0, NB \cdot \cos\theta, NB \cdot \sin\theta)$ в локальной системе координат с началом в точке $N$. Таким образом, глобальные координаты точки $B$ будут $N + (0, NB \cdot \cos\theta, NB \cdot \sin\theta)$, что дает $B = (MN, NB \cdot \cos\theta, NB \cdot \sin\theta)$.

Теперь найдем квадрат расстояния $AB$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2$

$AB^2 = (MN - 0)^2 + (NB \cdot \cos\theta - MA)^2 + (NB \cdot \sin\theta - 0)^2$

$AB^2 = MN^2 + (NB^2 \cos^2\theta - 2 \cdot MA \cdot NB \cdot \cos\theta + MA^2) + NB^2 \sin^2\theta$

Сгруппировав члены с $NB^2$ и используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, получим общую формулу:

$AB^2 = MN^2 + MA^2 + NB^2 - 2 \cdot MA \cdot NB \cdot \cos\theta$

Теперь применим эту формулу для решения каждого пункта задачи.

а) двугранный угол прямой, $MN = 36$ см, $MA = 18$ см и $NB = 12$ см

Если угол прямой, то $\theta = 90^\circ$, и $\cos(90^\circ) = 0$.

Подставляем данные в формулу:

$AB^2 = 36^2 + 18^2 + 12^2 - 2 \cdot 18 \cdot 12 \cdot 0$

$AB^2 = 1296 + 324 + 144 - 0$

$AB^2 = 1764$

$AB = \sqrt{1764} = 42$ см.

Ответ: 42 см.

б) двугранный угол равен $120^\circ$, $MN = 12$, $MA = 8$, $NB = 4$

Для угла $\theta = 120^\circ$ имеем $\cos(120^\circ) = -0.5$.

Подставляем данные в формулу:

$AB^2 = 12^2 + 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos(120^\circ)$

$AB^2 = 144 + 64 + 16 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot (-0.5)$

$AB^2 = 224 - (-32)$

$AB^2 = 224 + 32 = 256$

$AB = \sqrt{256} = 16$.

Ответ: 16.

в) двугранный угол равен $120^\circ$, $MN = MA = NB = x$

Используем те же значения для угла: $\theta = 120^\circ$, $\cos(120^\circ) = -0.5$.

Подставляем данные в формулу:

$AB^2 = x^2 + x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos(120^\circ)$

$AB^2 = 3x^2 - 2x^2 \cdot (-0.5)$

$AB^2 = 3x^2 + x^2$

$AB^2 = 4x^2$

$AB = \sqrt{4x^2} = 2x$ (поскольку $x$ — это длина, то $x>0$).

Ответ: $2x$.