Номер 37, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

37. Точки $M$ и $N$ принадлежат рёбрам $SS_1$ и $RR_1$ призмы $PQRSP_1Q_1R_1S_1$.

Докажите, что прямая $MN$ принадлежит плоскости $RSS_1$.

Рассмотрим призму $PQRSP_{1}Q_{1}R_{1}S_{1}$. Боковая грань, проходящая через ребра $RS$ и $R_{1}S_{1}$, является параллелограммом $RSS_{1}R_{1}$ (по определению призмы). Все вершины параллелограмма ($R, S, S_{1}, R_{1}$) лежат в одной плоскости. Эту плоскость можно обозначить как $(RSS_{1})$.

1. По условию задачи, точка $M$ принадлежит ребру $SS_{1}$. Это означает, что $M \in SS_{1}$. Ребро $SS_{1}$ является стороной грани $RSS_{1}R_{1}$, следовательно, вся прямая $SS_{1}$ целиком лежит в плоскости этой грани, то есть $SS_{1} \subset (RSS_{1})$. Так как точка $M$ принадлежит прямой $SS_{1}$, то она также принадлежит и плоскости $(RSS_{1})$. Таким образом, $M \in (RSS_{1})$.

2. Аналогично, по условию задачи, точка $N$ принадлежит ребру $RR_{1}$, то есть $N \in RR_{1}$. Ребро $RR_{1}$ также является стороной грани $RSS_{1}R_{1}$, поэтому вся прямая $RR_{1}$ целиком лежит в плоскости $(RSS_{1})$, то есть $RR_{1} \subset (RSS_{1})$. Так как точка $N$ принадлежит прямой $RR_{1}$, то она также принадлежит плоскости $(RSS_{1})$. Таким образом, $N \in (RSS_{1})$.

3. Мы установили, что две различные точки $M$ и $N$, определяющие прямую $MN$, принадлежат одной и той же плоскости $(RSS_{1})$.

4. Согласно аксиоме стереометрии: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Поскольку точки $M$ и $N$ лежат в плоскости $(RSS_{1})$, то и вся прямая $MN$ лежит в этой плоскости.

Ответ: Прямая $MN$ принадлежит плоскости $RSS_{1}$, что и требовалось доказать.