Номер 490, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

490. Все рёбра пирамиды $ABCD$ равны, $K$ и $M$ — середины рёбер $BD$ и $CD$ соответственно.

Найдите угол между плоскостями:

а) $AKC$ и $ABD$;

б) $ABC$ и $ABD$;

в) $ABC$ и $AKM$.

Поскольку все рёбра пирамиды $ABCD$ равны, то эта пирамида является правильным тетраэдром. Все её грани — равные равносторонние треугольники. Обозначим длину ребра тетраэдра как $a$.

а) AKC и ABD

1. Найдём линию пересечения плоскостей $AKC$ и $ABD$. Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям. Точка $K$ является серединой ребра $BD$, поэтому $K$ лежит на ребре грани $ABD$, а значит, и в плоскости $ABD$. Также $K$ является вершиной треугольника $AKC$, поэтому $K$ лежит и в плоскости $AKC$. Следовательно, линия пересечения плоскостей — прямая $AK$.

2. Для нахождения угла между плоскостями построим линейный угол двугранного угла. Для этого найдём две прямые, по одной в каждой плоскости, перпендикулярные линии пересечения $AK$.

3. Рассмотрим грань $ABD$. Это равносторонний треугольник со стороной $a$. $AK$ — медиана, проведённая к стороне $BD$. В равностороннем треугольнике медиана является также и высотой. Следовательно, $AK \perp BD$.

4. Рассмотрим грань $BCD$. Это также равносторонний треугольник со стороной $a$. $K$ — середина $BD$, значит $CK$ — медиана. Следовательно, $CK$ является и высотой, то есть $CK \perp BD$.

5. Мы имеем, что прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AK$ и $CK$ в плоскости $AKC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна всей плоскости $AKC$ ($BD \perp (AKC)$).

6. Плоскость $ABD$ проходит через прямую $BD$, которая перпендикулярна плоскости $AKC$. По признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

7. Таким образом, угол между плоскостями $AKC$ и $ABD$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б) ABC и ABD

1. Плоскости $ABC$ и $ABD$ — это две грани тетраэдра. Их линия пересечения — общее ребро $AB$.

2. Для нахождения угла между этими плоскостями построим линейный угол двугранного угла. Проведём в каждой плоскости перпендикуляр к линии пересечения $AB$ в одной и той же точке.

3. Пусть $H$ — середина ребра $AB$. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $CH$ является и высотой, следовательно, $CH \perp AB$. В равностороннем треугольнике $ABD$ медиана $DH$ также является и высотой, следовательно, $DH \perp AB$.

4. Угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$ равен углу между прямыми $CH$ и $DH$, то есть $\angle CHD$.

5. Рассмотрим треугольник $CHD$. Найдём длины его сторон:

• $CH$ — высота в равностороннем треугольнике со стороной $a$, поэтому $CH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• $DH$ — высота в равностороннем треугольнике со стороной $a$, поэтому $DH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• $CD$ — ребро тетраэдра, поэтому $CD = a$.

6. Применим теорему косинусов для треугольника $CHD$ для нахождения $\cos(\angle CHD)$: $CD^2 = CH^2 + DH^2 - 2 \cdot CH \cdot DH \cdot \cos(\angle CHD)$ $a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle CHD)$ $a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\angle CHD)$ $a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\angle CHD)$ Разделим обе части на $a^2$ (при $a \neq 0$): $1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\angle CHD)$ $\frac{3}{2} \cos(\angle CHD) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ $\cos(\angle CHD) = \frac{1}{3}$

7. Угол между плоскостями равен $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

в) ABC и AKM

1. В треугольнике $BCD$, $K$ и $M$ — середины сторон $BD$ и $CD$ соответственно. Значит, $KM$ — средняя линия треугольника $BCD$. По свойству средней линии, $KM \parallel BC$ и $KM = \frac{1}{2}BC$.

2. Плоскость $AKM$ проходит через прямую $KM$, параллельную прямой $BC$ в плоскости $ABC$. Следовательно, линия пересечения плоскостей $AKM$ и $ABC$ — это прямая $l$, проходящая через их общую точку $A$ и параллельная $KM$ (и $BC$).

3. Чтобы найти угол между плоскостями, построим секущую плоскость, перпендикулярную линии их пересечения $l$. Так как $l \parallel BC$, эта секущая плоскость будет также перпендикулярна $BC$.

4. Пусть $H$ — середина $BC$. В равностороннем треугольнике $ABC$ высота $AH \perp BC$. В равностороннем треугольнике $BCD$ высота $DH \perp BC$. Поскольку $AH$ и $DH$ перпендикулярны $BC$, то вся плоскость $ADH$ перпендикулярна $BC$, а значит, и прямой $l$.

5. Угол между плоскостями $ABC$ и $AKM$ равен углу между их линиями пересечения с плоскостью $ADH$.

• Линия пересечения плоскости $ABC$ и плоскости $ADH$ — это прямая $AH$.
• Линия пересечения плоскости $AKM$ и плоскости $ADH$ — это прямая $AP$, где $P$ — точка пересечения прямой $KM$ и плоскости $ADH$. Точка $P$ лежит на отрезке $DH$.

6. В треугольнике $DHC$ отрезок $MP$ является частью средней линии $KM$, параллельной $BC$ (и, следовательно, $HC$). Так как $M$ — середина $DC$, то $MP$ — средняя линия треугольника $DHC$. Следовательно, $P$ — середина $DH$.

7. Искомый угол — это $\angle PAH$ в треугольнике $APH$. Найдём длины сторон этого треугольника:

• $AH$ — высота равностороннего треугольника со стороной $a$, $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• $DH$ — высота равностороннего треугольника со стороной $a$, $DH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• $P$ — середина $DH$, поэтому $PH = \frac{1}{2}DH = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.
• $AP$ — медиана треугольника $ADH$. Найдём её длину по формуле длины медианы: $AP^2 = \frac{2(AD^2 + AH^2) - DH^2}{4} = \frac{2(a^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2) - (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2}{4} = \frac{2a^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2}{4}$ $AP^2 = \frac{2a^2 + \frac{3a^2}{4}}{4} = \frac{\frac{8a^2 + 3a^2}{4}}{4} = \frac{11a^2}{16}$. $AP = \frac{a\sqrt{11}}{4}$.

8. Применим теорему косинусов для треугольника $APH$, чтобы найти $\cos(\angle PAH)$: $PH^2 = AH^2 + AP^2 - 2 \cdot AH \cdot AP \cdot \cos(\angle PAH)$ $\left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{11}}{4}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{11}}{4} \cdot \cos(\angle PAH)$ $\frac{3a^2}{16} = \frac{3a^2}{4} + \frac{11a^2}{16} - \frac{a^2\sqrt{33}}{4} \cos(\angle PAH)$ $\frac{3a^2}{16} = \frac{12a^2}{16} + \frac{11a^2}{16} - \frac{a^2\sqrt{33}}{4} \cos(\angle PAH)$ $\frac{3}{16} = \frac{23}{16} - \frac{\sqrt{33}}{4} \cos(\angle PAH)$ $\frac{\sqrt{33}}{4} \cos(\angle PAH) = \frac{23}{16} - \frac{3}{16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$ $\cos(\angle PAH) = \frac{5}{\sqrt{33}} = \frac{5\sqrt{33}}{33}$

Ответ: $\arccos\left(\frac{5\sqrt{33}}{33}\right)$.