Номер 512, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

512. В основании прямой четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб, $\angle BCD = 60^\circ$, $AB = 2$, $AA_1 = AC$, точки $K, P, M$ — середины рёбер $AD, AB$ и $A_1B_1$ соответственно. Найдите расстояние $d$ от точки:

а) A до прямой $PC_1$;

б) A до прямой $KB_1$;

в) C до прямой $KM$;

г) D до прямой $MP$;

д) M до прямой $D_1P$;

е) K до прямой $B_1P$;

ж) P до прямой $MD_1$;

з) K до прямой $A_1C$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$, а ось $Oy$ — в плоскости основания $ABCD$ перпендикулярно $AB$.

Найдем координаты вершин призмы и заданных точек.

В основании лежит ромб $ABCD$ со стороной $AB=2$ и углом $\angle BCD = 60^\circ$. Так как углы ромба, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180^\circ$, то $\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Противолежащие углы ромба равны, поэтому $\angle BAD = \angle BCD = 60^\circ$. Это означает, что треугольник $ABD$ является равносторонним со стороной 2.

Вычислим длину диагонали $AC$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ) = 4 + 4 - 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 8 + 4 = 12$.

$AC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

По условию, высота призмы $AA_1 = AC$, следовательно, $AA_1 = 2\sqrt{3}$.

Теперь определим координаты вершин:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(2, 0, 0)$
• Координаты точки $D$: $AD=2$, $\angle BAD=60^\circ$. Проекции на оси: $x_D = AD \cos(60^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$, $y_D = AD \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Таким образом, $D(1, \sqrt{3}, 0)$.
• Координаты точки $C$: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. $C = B + D - A = (2+1, 0+\sqrt{3}, 0) = (3, \sqrt{3}, 0)$.
• Вершины верхнего основания получаются сдвигом вершин нижнего основания на вектор $\vec{AA_1}=(0, 0, 2\sqrt{3})$:
• $A_1(0, 0, 2\sqrt{3})$
• $B_1(2, 0, 2\sqrt{3})$
• $C_1(3, \sqrt{3}, 2\sqrt{3})$
• $D_1(1, \sqrt{3}, 2\sqrt{3})$

Найдем координаты точек $K, P, M$:

• $K$ — середина $AD$: $K = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.
• $P$ — середина $AB$: $P = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0, 0)$.
• $M$ — середина $A_1B_1$: $M = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{2}\right) = (1, 0, 2\sqrt{3})$.

Расстояние $d$ от точки $X_0$ до прямой, проходящей через точки $X_1$ и $X_2$, находится по формуле: $d = \frac{|\vec{X_1X_0} \times \vec{X_1X_2}|}{|\vec{X_1X_2}|}$.

а) A до прямой PC₁

Точка $A(0,0,0)$, прямая проходит через $P(1,0,0)$ и $C_1(3, \sqrt{3}, 2\sqrt{3})$.

Вектор от точки на прямой до точки $A$: $\vec{PA} = A - P = (-1, 0, 0)$.

Направляющий вектор прямой: $\vec{PC_1} = C_1 - P = (2, \sqrt{3}, 2\sqrt{3})$.

Векторное произведение: $\vec{PA} \times \vec{PC_1} = (0 \cdot 2\sqrt{3} - 0 \cdot \sqrt{3}, 0 \cdot 2 - (-1) \cdot 2\sqrt{3}, -1 \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot 2) = (0, 2\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{PA} \times \vec{PC_1}| = \sqrt{0^2 + (2\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{12+3} = \sqrt{15}$.

Модуль направляющего вектора: $|\vec{PC_1}| = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+3+12} = \sqrt{19}$.

Расстояние: $d = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{285}}{19}$.

Ответ: $\sqrt{\frac{15}{19}}$.

б) A до прямой KB₁

Точка $A(0,0,0)$, прямая проходит через $K(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $B_1(2, 0, 2\sqrt{3})$.

Вектор $\vec{KA} = A - K = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Направляющий вектор $\vec{KB_1} = B_1 - K = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})$.

Векторное произведение: $\vec{KA} \times \vec{KB_1} = (-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{3} - 0, 0 - (-\frac{1}{2}) \cdot 2\sqrt{3}, -\frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{3}{2}) = (-3, \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{4}) = (-3, \sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{KA} \times \vec{KB_1}| = \sqrt{(-3)^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+3+3} = \sqrt{15}$.

Модуль направляющего вектора: $|\vec{KB_1}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}+12} = \sqrt{3+12} = \sqrt{15}$.

Расстояние: $d = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}} = 1$.

Ответ: $1$.

в) C до прямой KM

Точка $C(3, \sqrt{3}, 0)$, прямая проходит через $K(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $M(1, 0, 2\sqrt{3})$.

Вектор $\vec{KC} = C - K = (\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Направляющий вектор $\vec{KM} = M - K = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})$.

Векторное произведение: $\vec{KC} \times \vec{KM} = (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{3} - 0, 0 - \frac{5}{2} \cdot 2\sqrt{3}, \frac{5}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = (3, -5\sqrt{3}, -\frac{5\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = (3, -5\sqrt{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{KC} \times \vec{KM}| = \sqrt{3^2 + (-5\sqrt{3})^2 + (-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{9+75+\frac{27}{4}} = \sqrt{84+\frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{336+27}{4}} = \frac{\sqrt{363}}{2} = \frac{11\sqrt{3}}{2}$.

Модуль направляющего вектора: $|\vec{KM}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+12} = \sqrt{1+12} = \sqrt{13}$.

Расстояние: $d = \frac{11\sqrt{3}/2}{\sqrt{13}} = \frac{11\sqrt{3}}{2\sqrt{13}} = \frac{11\sqrt{39}}{26}$.

Ответ: $\frac{11\sqrt{39}}{26}$.

г) D до прямой MP

Точка $D(1, \sqrt{3}, 0)$, прямая проходит через $M(1, 0, 2\sqrt{3})$ и $P(1, 0, 0)$.

Заметим, что у точек $M$ и $P$ координаты $x$ и $y$ совпадают. Это означает, что прямая $MP$ параллельна оси $Oz$ и её уравнение $x=1, y=0$.

Расстояние от точки $D(x_D, y_D, z_D)$ до прямой, параллельной оси $Oz$, равно расстоянию в плоскости $Oxy$ от точки $(x_D, y_D)$ до точки $(1,0)$.

$d = \sqrt{(x_D - 1)^2 + (y_D - 0)^2} = \sqrt{(1-1)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{0+3} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

д) M до прямой D₁P

Точка $M(1, 0, 2\sqrt{3})$, прямая проходит через $D_1(1, \sqrt{3}, 2\sqrt{3})$ и $P(1, 0, 0)$.

Заметим, что все три точки $M$, $D_1$, $P$ лежат в плоскости $x=1$. Таким образом, задача сводится к двумерной задаче на плоскости $x=1$. В этой плоскости будем использовать координаты $(y,z)$.

Точки имеют координаты: $M(0, 2\sqrt{3})$, $D_1(\sqrt{3}, 2\sqrt{3})$, $P(0, 0)$.

Нужно найти расстояние от точки $M$ до прямой $D_1P$. Уравнение прямой $D_1P$ в координатах $(y,z)$:$\frac{y-0}{\sqrt{3}-0} = \frac{z-0}{2\sqrt{3}-0} \Rightarrow \frac{y}{\sqrt{3}} = \frac{z}{2\sqrt{3}} \Rightarrow 2y = z \Rightarrow 2y - z = 0$.

Расстояние от точки $M(y_M, z_M) = (0, 2\sqrt{3})$ до прямой $2y - z = 0$ вычисляется по формуле:$d = \frac{|2y_M - z_M|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 \cdot 0 - 2\sqrt{3}|}{\sqrt{4+1}} = \frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{15}}{5}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{15}}{5}$.

е) K до прямой B₁P

Точка $K(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, прямая проходит через $B_1(2, 0, 2\sqrt{3})$ и $P(1, 0, 0)$.

Вектор $\vec{PK} = K - P = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Направляющий вектор $\vec{PB_1} = B_1 - P = (1, 0, 2\sqrt{3})$.

Векторное произведение: $\vec{PK} \times \vec{PB_1} = (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{3} - 0, 0 - (-\frac{1}{2}) \cdot 2\sqrt{3}, -\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1) = (3, \sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{PK} \times \vec{PB_1}| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{9+3+\frac{3}{4}} = \sqrt{12+\frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{48+3}{4}} = \frac{\sqrt{51}}{2}$.

Модуль направляющего вектора: $|\vec{PB_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+12} = \sqrt{13}$.

Расстояние: $d = \frac{\sqrt{51}/2}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{51}}{2\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{663}}{26}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{663}}{26}$.

ж) P до прямой MD₁

Точка $P(1, 0, 0)$, прямая проходит через $M(1, 0, 2\sqrt{3})$ и $D_1(1, \sqrt{3}, 2\sqrt{3})$.

Заметим, что у точек $M$ и $D_1$ координаты $x$ и $z$ постоянны: $x=1, z=2\sqrt{3}$. Прямая $MD_1$ параллельна оси $Oy$. Расстояние от точки $P(x_P, y_P, z_P)$ до прямой, параллельной $Oy$, равно расстоянию в плоскости $Oxz$ от точки $(x_P, z_P)$ до точки $(1, 2\sqrt{3})$.

$d = \sqrt{(x_P - 1)^2 + (z_P - 2\sqrt{3})^2} = \sqrt{(1-1)^2 + (0 - 2\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 12} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3}$.

з) K до прямой A₁C

Точка $K(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, прямая проходит через $A_1(0, 0, 2\sqrt{3})$ и $C(3, \sqrt{3}, 0)$.

Вектор $\vec{CK} = K - C = (-\frac{5}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Направляющий вектор $\vec{CA_1} = A_1 - C = (-3, -\sqrt{3}, 2\sqrt{3})$.

Векторное произведение: $\vec{CK} \times \vec{CA_1} = (-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{3} - 0, 0 - (-\frac{5}{2}) \cdot 2\sqrt{3}, -\frac{5}{2} \cdot (-\sqrt{3}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-3)) = (-3, 5\sqrt{3}, \frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}) = (-3, 5\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{CK} \times \vec{CA_1}| = \sqrt{(-3)^2 + (5\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+75+3} = \sqrt{87}$.

Модуль направляющего вектора: $|\vec{CA_1}| = \sqrt{(-3)^2 + (-\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+3+12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

Расстояние: $d = \frac{\sqrt{87}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3 \cdot 29}}{2\sqrt{2 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{29}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{58}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{58}}{4}$.