Номер 65, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

65. Изобразите куб $NORQN_1O_1R_1Q_1$ и отметьте середины $A$ и $B$ его рёбер $NQ$ и $QR$. Докажите, что сечение куба плоскостью $ABQ_1$ является равнобедренным треугольником. Найдите ребро куба, учитывая, что периметр этого треугольника равен $a$.

Пусть ребро куба $NORQN_1O_1R_1Q_1$ равно $x$. Точки $A$ и $B$ — середины рёбер $NQ$ и $QR$ соответственно. Сечение куба, о котором идёт речь в задаче, это треугольник $ABQ_1$.

Чтобы доказать, что треугольник $ABQ_1$ равнобедренный, нужно показать, что две его стороны равны. Найдём длины сторон $AQ_1$ и $BQ_1$.

В кубе ребро $QQ_1$ перпендикулярно грани $NORQ$. Это означает, что $QQ_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой грани. В частности, $QQ_1 \perp QA$ и $QQ_1 \perp QB$. Следовательно, треугольники $\triangle AQQ_1$ и $\triangle BQQ_1$ являются прямоугольными, с прямым углом при вершине $Q$.

По условию $A$ — середина ребра $NQ$, а $B$ — середина ребра $QR$. Длины рёбер куба равны $x$, то есть $NQ = QR = x$. Длины катетов $QA$ и $QB$ в этих треугольниках равны: $QA = \frac{1}{2} NQ = \frac{x}{2}$ $QB = \frac{1}{2} QR = \frac{x}{2}$ Таким образом, катеты $QA$ и $QB$ равны.

Катет $QQ_1$ является общим для обоих треугольников и его длина равна ребру куба, то есть $QQ_1 = x$. Применим теорему Пифагора для нахождения гипотенуз $AQ_1$ и $BQ_1$: $AQ_1^2 = QA^2 + QQ_1^2 = (\frac{x}{2})^2 + x^2 = \frac{x^2}{4} + x^2 = \frac{5x^2}{4}$ $BQ_1^2 = QB^2 + QQ_1^2 = (\frac{x}{2})^2 + x^2 = \frac{x^2}{4} + x^2 = \frac{5x^2}{4}$

Из равенства квадратов длин сторон следует и равенство самих длин: $AQ_1 = BQ_1 = \sqrt{\frac{5x^2}{4}} = \frac{x\sqrt{5}}{2}$. Так как две стороны треугольника $ABQ_1$ равны, он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сечение куба плоскостью $ABQ_1$ является равнобедренным треугольником, так как его боковые стороны $AQ_1$ и $BQ_1$ равны.

Периметр $P$ треугольника $ABQ_1$ вычисляется как сумма длин всех его сторон: $P = AB + AQ_1 + BQ_1$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $AQ_1 = BQ_1 = \frac{x\sqrt{5}}{2}$.

Найдём длину третьей стороны $AB$. Точки $A$, $B$ и $Q$ лежат в одной грани $NORQ$. Рёбра $QN$ и $QR$ выходят из одной вершины $Q$ и, следовательно, перпендикулярны друг другу. Это означает, что $\triangle AQB$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $Q$. Его катеты равны $QA = \frac{x}{2}$ и $QB = \frac{x}{2}$.

По теореме Пифагора для $\triangle AQB$: $AB^2 = QA^2 + QB^2 = (\frac{x}{2})^2 + (\frac{x}{2})^2 = \frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = \frac{2x^2}{4} = \frac{x^2}{2}$ $AB = \sqrt{\frac{x^2}{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}} = \frac{x\sqrt{2}}{2}$

Периметр треугольника по условию равен $a$. Составим уравнение: $a = AB + AQ_1 + BQ_1 = \frac{x\sqrt{2}}{2} + \frac{x\sqrt{5}}{2} + \frac{x\sqrt{5}}{2}$ $a = \frac{x\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{x\sqrt{5}}{2} = \frac{x\sqrt{2}}{2} + x\sqrt{5}$

Вынесем $x$ за скобки, чтобы выразить его: $a = x(\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{5}) = x(\frac{\sqrt{2} + 2\sqrt{5}}{2})$ $x = \frac{a}{\frac{\sqrt{2} + 2\sqrt{5}}{2}} = \frac{2a}{2\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $(2\sqrt{5} - \sqrt{2})$: $x = \frac{2a(2\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(2\sqrt{5} + \sqrt{2})(2\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{2a(2\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(2\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2a(2\sqrt{5} - \sqrt{2})}{20 - 2} = \frac{2a(2\sqrt{5} - \sqrt{2})}{18}$ $x = \frac{a(2\sqrt{5} - \sqrt{2})}{9}$

Ответ: $\frac{a(2\sqrt{5} - \sqrt{2})}{9}$