Номер 73, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

73. Сторона основания правильной треугольной призмы $CDEC_1D_1E_1$ равна 12 см, а её боковое ребро — 6 см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, которой принадлежит сторона основания и противоположная вершина второго основания.

Дана правильная треугольная призма $CDEC_1D_1E_1$. Это означает, что её основаниями являются два равносторонних треугольника ($CDE$ и $C_1D_1E_1$), а боковые грани — прямоугольники, перпендикулярные основаниям.

Из условия задачи известны:
- Сторона основания, например $DE$, равна $a = 12$ см.
- Боковое ребро, оно же высота призмы, $h = CC_1 = 6$ см.

Сечение призмы проходит через одну из сторон основания (возьмем сторону $DE$) и противоположную этой стороне вершину другого основания (это будет вершина $C_1$). Таким образом, искомое сечение представляет собой треугольник $DEC_1$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания треугольника $DEC_1$ возьмем сторону $DE = 12$ см. Нам необходимо найти высоту этого треугольника, опущенную из вершины $C_1$ на сторону $DE$.

Рассмотрим треугольник основания $CDE$. Так как он равносторонний, его высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $DE$, также является и медианой. Обозначим точку пересечения высоты со стороной $DE$ как $M$. Тогда $M$ — середина $DE$, и $CM \perp DE$. Длину высоты $CM$ равностороннего треугольника со стороной $a$ находим по формуле:
$CM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $DEC_1$. Так как призма прямая, боковые ребра перпендикулярны основанию. В частности, $CC_1 \perp$ плоскости $(CDE)$, а значит, $CC_1 \perp CM$. Следовательно, треугольник $CC_1M$ является прямоугольным.
В треугольнике сечения $DEC_1$ стороны $DC_1$ и $EC_1$ равны, так как они являются диагоналями равных прямоугольников ($CDD_1C_1$ и $EED_1C_1$). Значит, треугольник $DEC_1$ — равнобедренный. Его медиана $C_1M$, проведенная к основанию $DE$, является и его высотой. Длину этой высоты мы можем найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $CC_1M$:
$C_1M^2 = CC_1^2 + CM^2$
$C_1M^2 = 6^2 + (6\sqrt{3})^2 = 36 + 36 \cdot 3 = 36 + 108 = 144$
$C_1M = \sqrt{144} = 12$ см.

Зная основание и высоту треугольника $DEC_1$, находим его площадь:
$S_{DEC_1} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot C_1M = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72$ см².

Ответ: $72$ см².