Номер 86, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

86. Точка $A$ — середина бокового ребра $KE$ правильной четырёхугольной пирамиды $KCDEF$, все рёбра которой равны друг другу. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую $DF$ и точку $A$. Найдите полную поверхность пирамиды, учитывая, что площадь этого сечения равна $S$.

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую DF и точку A.

Дана правильная четырёхугольная пирамида $KCDEF$, у которой все рёбра равны. Это означает, что основание $CDEF$ — квадрат, а все боковые грани — равные между собой равносторонние треугольники. Точка $A$ — середина бокового ребра $KE$.

Секущая плоскость задана тремя точками, не лежащими на одной прямой: $D$, $F$ и $A$.

1. Точки $D$ и $F$ — это вершины основания пирамиды. Они принадлежат секущей плоскости. Отрезок $DF$, соединяющий их, является диагональю основания и одной из сторон искомого сечения.

2. Точка $A$ лежит на боковом ребре $KE$ и по условию также принадлежит секущей плоскости.

3. Соединив точку $A$ с точками $D$ и $F$, мы получим отрезки $AD$ и $AF$.

В результате образуется треугольник $ADF$. Все его вершины ($A, D, F$) лежат на рёбрах пирамиды. Таким образом, треугольник $ADF$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $ADF$.

Найдите полную поверхность пирамиды, учитывая, что площадь этого сечения равна S.

Пусть $a$ — длина ребра пирамиды. По условию, все рёбра равны $a$.

1. Найдём площадь сечения $ADF$ в зависимости от $a$.

Треугольник $ADF$ является равнобедренным, так как грани $KDE$ и $KEF$ равны, а точка $A$ — середина их общего ребра $KE$. Следовательно, отрезки $AD$ и $AF$ равны по симметрии.

Найдём длины сторон треугольника $ADF$:

• Основание $DF$ — это диагональ квадрата $CDEF$ со стороной $a$. Его длина: $DF = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
• Для нахождения длины боковой стороны $AD$ рассмотрим грань $KDE$. Это равносторонний треугольник со стороной $a$. Точка $A$ — середина $KE$, поэтому $AE = a/2$. В треугольнике $ADE$ известны две стороны ($DE=a$, $AE=a/2$) и угол между ними ($\angle AED = 60^\circ$). Применим теорему косинусов:

  $AD^2 = DE^2 + AE^2 - 2 \cdot DE \cdot AE \cdot \cos(60^\circ)$

  $AD^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2} = a^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{4}$

  Отсюда $AD = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Так как $AD=AF$, то $AF = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ тоже.

Теперь найдём высоту $h$ треугольника $ADF$, опущенную из вершины $A$ на основание $DF$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной основания и боковой стороной:

$h^2 = AD^2 - (\frac{DF}{2})^2 = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$

Следовательно, высота $h = \frac{a}{2}$.

Площадь сечения, которая по условию равна $S$, вычисляется как:

$S = \frac{1}{2} \cdot DF \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$.

2. Выразим $a^2$ через $S$ из полученного равенства.

$a^2 = \frac{4S}{\sqrt{2}} = \frac{4S\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}S$.

3. Найдём полную поверхность пирамиды $S_{полн}$. Она складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

• Площадь основания (квадрата со стороной $a$): $S_{осн} = a^2$.
• Площадь боковой поверхности (состоит из четырёх равносторонних треугольников со стороной $a$): $S_{бок} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$.

Полная поверхность пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + a^2\sqrt{3} = a^2(1 + \sqrt{3})$.

4. Подставим в эту формулу найденное выражение для $a^2$.

$S_{полн} = (2\sqrt{2}S)(1 + \sqrt{3}) = 2S(\sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) = 2S(\sqrt{2} + \sqrt{6})$.

Ответ: $2S(\sqrt{2} + \sqrt{6})$.