Номер 11, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

11*. Следствие 2 называют ещё теоремой синусов для трёхгранного угла.

Объясните почему.

Это название дано по прямой аналогии с теоремой синусов для плоского треугольника. Чтобы понять эту аналогию, рассмотрим элементы трёхгранного угла и сравним их с элементами треугольника.

Пусть дан трёхгранный угол с вершиной в точке $O$. Его гранями являются три плоских угла, величины которых обозначим $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Углами между плоскостями этих граней являются двугранные углы. Обозначим величины двугранных углов, противолежащих плоским углам $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, как $A$, $B$ и $C$ соответственно.

Следствие 2, или теорема синусов для трёхгранного угла, устанавливает соотношение между синусами плоских и двугранных углов: $$ \frac{\sin \alpha}{\sin A} = \frac{\sin \beta}{\sin B} = \frac{\sin \gamma}{\sin C} $$

Теперь вспомним классическую теорему синусов для плоского треугольника. Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими им углами $A$, $B$, $C$ она имеет вид: $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$

Сравнивая эти две теоремы, можно увидеть очевидную структурную аналогию:

• Роль сторон треугольника ($a, b, c$) в трёхгранном угле играют его плоские углы (а точнее, их синусы: $\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma$).
• Роль углов треугольника ($A, B, C$) в трёхгранном угле играют его двугранные углы ($A, B, C$).

В обоих случаях теорема утверждает, что отношение некоторого элемента (длины стороны или синуса плоского угла) к синусу противолежащего ему угла (угла треугольника или двугранного угла) является постоянной величиной для данной фигуры. Из-за этого формального сходства утверждение для трёхгранного угла и получило название «теорема синусов».

Ответ: Название «теорема синусов для трёхгранного угла» дано по аналогии с теоремой синусов для плоского треугольника. Формула для трёхгранного угла ($ \frac{\sin \alpha}{\sin A} = \frac{\sin \beta}{\sin B} = \frac{\sin \gamma}{\sin C} $) структурно идентична формуле для треугольника ($ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $), где роль сторон играют синусы плоских углов, а роль углов — двугранные углы.