Номер 48, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.48. Функция $y = f(x)$ задана графически (рис. 28). При каких значениях параметра $a$ уравнение $f(x) = a$ имеет 2 решения?

Рис. 28

Для решения уравнения $f(x) = a$ графическим методом необходимо найти точки пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = a$. Количество решений уравнения равно количеству таких точек пересечения. Задача состоит в том, чтобы найти такие значения параметра $a$, при которых прямая $y=a$ пересекает данный график ровно в двух точках.

Проанализируем график функции $y = f(x)$, представленный на рисунке. Для определения конкретных значений $a$ необходимо определить координаты ключевых точек графика — локальных экстремумов (максимумов и минимумов). В задачах такого типа, если иное не указано, предполагается, что координаты экстремумов и других характерных точек являются целыми или простыми рациональными числами.

Из графика можно сделать следующие предположения о ключевых точках:

• График имеет локальный максимум (наибольшее значение) на оси $y$, то есть при $x=0$. Судя по отметке $1$ на оси $y$, значение этого максимума $y_{max1} = 2$.
• На оси $x$ отмечена точка $1$. Видно, что в точке $x=1$ график касается оси абсцисс, то есть здесь находится локальный минимум. Значение этого минимума $y_{min} = 0$.
• График имеет второй, меньший локальный максимум. Можно предположить, что его высота соответствует отметке на оси $y$, то есть $y_{max2} = 1$.

Теперь проанализируем количество решений уравнения $f(x) = a$ в зависимости от значения $a$, перемещая горизонтальную прямую $y=a$ вдоль оси $y$:

• При $a > 2$ (прямая выше глобального максимума): нет точек пересечения, 0 решений.
• При $a = 2$ (прямая касается первого максимума): одна точка пересечения, 1 решение.
• При $1 < a < 2$ (прямая находится между двумя максимумами): две точки пересечения, 2 решения.
• При $a = 1$ (прямая касается второго максимума): три точки пересечения, 3 решения.
• При $0 < a < 1$ (прямая находится между минимумом и вторым максимумом): четыре точки пересечения, 4 решения.
• При $a = 0$ (прямая касается минимума в точке $x=1$ и пересекает график еще один раз при $x<0$): две точки пересечения, 2 решения.
• При $a < 0$ (прямая ниже оси $x$): одна точка пересечения, 1 решение.

Таким образом, уравнение $f(x) = a$ имеет ровно два решения в двух случаях: когда прямая $y=a$ проходит между двумя максимумами, и когда она совпадает с касательной в точке минимума.

Ответ: Уравнение имеет 2 решения при $a = 0$ и при $1 < a < 2$.