Задание с вопросом, страница 133, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Муравьева, Урбан

Почему при умножении в столбик многозначного числа на однозначное число начинают выполнять умножение с разряда единиц первого класса?

Умножение в столбик многозначного числа на однозначное начинают с разряда единиц (самого младшего разряда) из-за особенностей позиционной системы счисления и для удобства выполнения операции «переноса в уме» в старший разряд. Этот порядок делает вычисления последовательными и логичными, исключая необходимость возвращаться и исправлять уже записанные цифры.

Математическая основа: распределительное свойство умножения

В основе умножения в столбик лежит распределительное свойство умножения относительно сложения. Любое многозначное число можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых. Например, число 358 — это $300 + 50 + 8$.

Чтобы умножить 358 на 4, мы, по сути, вычисляем:$358 \times 4 = (300 + 50 + 8) \times 4$

Используя распределительное свойство, получаем:$(300 \times 4) + (50 \times 4) + (8 \times 4) = 1200 + 200 + 32 = 1432$

Метод умножения в столбик — это просто более короткий и организованный способ выполнить все эти действия.

Алгоритм умножения в столбик: справа налево

Рассмотрим тот же пример: $358 \times 4$.

1. Умножаем единицы: $8 \times 4 = 32$. Число 32 состоит из 2 единиц и 3 десятков. Мы записываем 2 в разряд единиц результата, а 3 десятка «переносим» (держим в уме) в следующий, старший разряд — разряд десятков.

2. Умножаем десятки: $5 \text{ (десятков)} \times 4 = 20 \text{ (десятков)}$. К полученному результату прибавляем 3 десятка, которые мы перенесли с предыдущего шага: $20 + 3 = 23$ десятка. Число 23 десятка — это 3 десятка и 2 сотни. Мы записываем 3 в разряд десятков результата, а 2 сотни «переносим» в разряд сотен.

3. Умножаем сотни: $3 \text{ (сотни)} \times 4 = 12 \text{ (сотен)}$. Прибавляем 2 сотни из ума: $12 + 2 = 14$ сотен. Поскольку больше разрядов для умножения нет, мы записываем число 14 полностью.

В итоге получаем число 1432. Как видите, этот пошаговый процесс с переносом из младшего разряда в старший автоматически и правильно суммирует все части произведения ($32 + 200 + 1200$).

Что если умножать слева направо?

Давайте попробуем умножить $358 \times 4$ начиная со старшего разряда (сотен).

1. Умножаем сотни: $3 \times 4 = 12$ (сотен). Если мы запишем 12, то это будет означать 1 тысячу и 2 сотни.

2. Умножаем десятки: $5 \times 4 = 20$ (десятков), что равно 2 сотням. Теперь нам нужно прибавить эти 2 сотни к уже посчитанным. Придется исправлять написанное: $12 \text{ (сотен)} + 2 \text{ (сотни)} = 14 \text{ (сотен)}$. Наш промежуточный результат стал 1400.

3. Умножаем единицы: $8 \times 4 = 32$, что равно 3 десяткам и 2 единицам. Теперь нужно прибавить 3 десятка к нашему результату, в котором на месте десятков пока стоит 0. Это создает путаницу и требует постоянных исправлений.

Такой подход крайне неудобен, потому что результаты умножения младших разрядов постоянно влияют на уже записанные цифры старших разрядов, заставляя их менять. По сути, это сведется к тому, что нужно будет посчитать все произведения отдельно ($1200$, $200$, $32$) и затем сложить их, что отменяет саму идею простого алгоритма умножения в столбик.

Вывод

Умножение с разряда единиц (справа налево) — это эффективный алгоритм, который позволяет последовательно вычислять каждую цифру итогового числа. Перенос «в уме» происходит всегда в одну сторону — от младших разрядов к старшим, которые еще не были вычислены. Это делает процесс простым, быстрым и исключает ошибки.

Ответ: Умножение в столбик начинают с разряда единиц, потому что такой порядок позволяет удобно и последовательно обрабатывать «переносы» из младших разрядов в старшие. При умножении единиц может получиться число, содержащее десятки; при умножении десятков — сотни, и так далее. Двигаясь справа налево (от единиц к старшим разрядам), мы сразу учитываем эти перенесенные значения в следующем, еще не вычисленном разряде, что делает алгоритм простым, логичным и не требующим исправлений уже записанных цифр.