Номер 13, страница 46 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

13. Определите, при каких натуральных значениях $a$ произведение $11a$ является простым числом.

По определению, простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя.

В задаче требуется найти все натуральные значения $a$ (то есть $a \in \{1, 2, 3, \ldots\}$), при которых произведение $11a$ является простым числом.

Рассмотрим произведение $11a$. Число 11 само по себе является простым. Любое произведение $11a$ будет делиться на 1, на 11, на $a$ и на само себя ($11a$).

Чтобы число $11a$ было простым, оно должно иметь ровно два делителя: 1 и $11a$. Это означает, что другие его делители (11 и $a$) должны совпадать с этими двумя.

Рассмотрим два возможных случая для натурального числа $a$:

1. Пусть $a = 1$.
В этом случае произведение равно $11 \cdot 1 = 11$. Число 11 является простым, так как его делителями являются только 1 и 11. Следовательно, значение $a=1$ удовлетворяет условию задачи.

2. Пусть $a > 1$.
Если $a$ — натуральное число больше единицы (например $a=2, 3, 4, \ldots$), то у числа $11a$ будет как минимум три различных делителя: $1$, $11$ и $a$. Поскольку простое число должно иметь только два делителя, то при $a > 1$ число $11a$ не может быть простым. Оно является составным.

Следовательно, существует только одно натуральное значение $a$, при котором произведение $11a$ является простым числом.

Ответ: $1$.