Номер 23, страница 47 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

23. Определите, делится ли число $b$ на число $a$ без остатка, если:

a) $b = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 15$, $a = 2 \cdot 3 \cdot 7$;

б) $b = 7 \cdot 11 \cdot 16$, $a = 2 \cdot 11$.

а) Для того чтобы определить, делится ли число $b$ на число $a$ без остатка, необходимо сравнить их разложения на простые множители. Число $b$ делится на $a$ без остатка, если все простые множители, входящие в разложение числа $a$, также входят в разложение числа $b$ (причем их степень в разложении $b$ должна быть не меньше, чем в разложении $a$).

Даны числа:
$b = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 15$
$a = 2 \cdot 3 \cdot 7$

Сначала представим оба числа в виде произведения простых множителей. Для числа $a$ все множители ($2, 3, 7$) уже являются простыми, поэтому его каноническое разложение: $a = 2 \cdot 3 \cdot 7$.

В разложении числа $b$ множитель $15$ является составным. Разложим его на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$. Теперь подставим это в выражение для $b$: $b = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot (3 \cdot 5) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11$.

Сравним наборы простых множителей:
Множители $a$: {2, 3, 7}
Множители $b$: {2, 3, 5, 11}

В разложении числа $a$ присутствует простой множитель $7$, которого нет в разложении числа $b$. Это означает, что $b$ не может делиться на $a$ без остатка.

Проверим это, вычислив частное: $\frac{b}{a} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 15}{2 \cdot 3 \cdot 7}$ Сократив общие множители $2$ и $3$, получим: $\frac{b}{a} = \frac{5 \cdot 11 \cdot 15}{7} = \frac{825}{7}$ Поскольку $825$ не делится на $7$ нацело, число $b$ не делится на $a$ без остатка.

Ответ: не делится.

б) Даны числа:
$b = 7 \cdot 11 \cdot 16$
$a = 2 \cdot 11$

Снова представим числа в виде произведения простых множителей. Для числа $a$ множители $2$ и $11$ являются простыми: $a = 2 \cdot 11$.

В разложении числа $b$ множитель $16$ является составным. Разложим его на простые множители: $16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$. Тогда разложение числа $b$ на простые множители: $b = 7 \cdot 11 \cdot 2^4$.

Сравним наборы простых множителей:
Множители $a$: {2, 11}
Множители $b$: {2, 7, 11}

Все простые множители числа $a$ (а именно $2$ и $11$) содержатся в разложении числа $b$. Степень множителя $2$ в разложении $b$ ($4$) больше степени в разложении $a$ ($1$), а степень множителя $11$ совпадает ($1$). Следовательно, число $b$ делится на число $a$ без остатка.

Проверим это, вычислив частное: $\frac{b}{a} = \frac{7 \cdot 11 \cdot 16}{2 \cdot 11}$ Сократив общий множитель $11$, получим: $\frac{b}{a} = \frac{7 \cdot 16}{2} = 7 \cdot 8 = 56$ Результат деления — целое число, что подтверждает, что $b$ делится на $a$ без остатка.

Ответ: делится.