Номер 3, страница 54 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

3. Имеется 8 одинаковых с виду монет. Одна из них фальшивая, и известно, что она легче настоящей. Как с помощью всего лишь двух взвешиваний найти фальшивую монету? В вашем распоряжении лабораторные весы, которые показывают только больше-меньше.

Для того чтобы найти фальшивую монету за два взвешивания, необходимо использовать стратегию, которая на каждом шаге максимально сужает круг "подозреваемых" монет. Ключ к решению — деление монет на три группы. Поскольку каждое взвешивание даёт один из трёх результатов (левая чаша легче, правая чаша легче или равновесие), за два взвешивания можно различить до $3^2 = 9$ ситуаций, что достаточно для идентификации одной из 8 монет.

Пронумеруем монеты от 1 до 8 и разделим их на три группы:

• Группа 1: монеты 1, 2, 3.
• Группа 2: монеты 4, 5, 6.
• Группа 3: монеты 7, 8 (отложены в сторону).

Помещаем на левую чашу весов Группу 1, а на правую — Группу 2. Возможны три исхода:

1. Весы в равновесии.

   Это значит, что все монеты на весах (1-6) настоящие. Фальшивая (более легкая) монета находится в Группе 3 (среди монет 7 и 8). Для её нахождения переходим к Случаю А второго взвешивания.

2. Левая чаша легче правой.

   Это значит, что фальшивая монета находится в Группе 1 (среди монет 1, 2, 3). Для её нахождения переходим к Случаю Б второго взвешивания.

3. Правая чаша легче левой.

   Это значит, что фальшивая монета находится в Группе 2 (среди монет 4, 5, 6). Для её нахождения переходим к Случаю В второго взвешивания.

Действия зависят от результата первого взвешивания:

• Случай А: Фальшивая монета — 7 или 8.

  Кладём на одну чашу монету 7, на другую — заведомо настоящую монету (например, монету 1).

  • Если чаша с монетой 7 поднялась ($монета\;7 < монета\;1$), то фальшивая — монета 7.
  • Если весы в равновесии ($монета\;7 = монета\;1$), то фальшивая — монета 8.
• Случай Б: Фальшивая монета — 1, 2 или 3.

  Кладём на одну чашу монету 1, на другую — монету 2. Монету 3 оставляем в стороне.

  • Если чаша с монетой 1 поднялась ($монета\;1 < монета\;2$), то фальшивая — монета 1.
  • Если чаша с монетой 2 поднялась ($монета\;1 > монета\;2$), то фальшивая — монета 2.
  • Если весы в равновесии ($монета\;1 = монета\;2$), то фальшивая — отложенная монета 3.
• Случай В: Фальшивая монета — 4, 5 или 6.

  Действуем аналогично случаю Б: кладём на одну чашу монету 4, на другую — монету 5. Монету 6 оставляем в стороне.

  • Если чаша с монетой 4 поднялась ($монета\;4 < монета\;5$), то фальшивая — монета 4.
  • Если чаша с монетой 5 поднялась ($монета\;4 > монета\;5$), то фальшивая — монета 5.
  • Если весы в равновесии ($монета\;4 = монета\;5$), то фальшивая — отложенная монета 6.

Ответ: Алгоритм таков: 8 монет делятся на три группы (3, 3 и 2). Первым взвешиванием сравниваются две группы по 3 монеты. Если их вес равен, то фальшивая монета находится в отложенной паре, и её находят вторым взвешиванием, сравнивая эти две монеты между собой (та, что легче, — фальшивая). Если же одна из троек оказалась легче, значит, фальшивка в ней. Тогда вторым взвешиванием сравнивают любые две монеты из этой легкой тройки: если одна из них легче — это она, если же они равны — фальшивой является третья, оставшаяся монета из этой тройки.